Question

如图所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R，2R，3R和4R，R=0.5m，水平部分长度L=2m，轨道最低点离水平地面高h=1m．中心有孔的钢球（孔径略大于细钢轨道直径），套在钢轨端点P处，质量为m=0.5kg，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ=0.4．给钢球一初速度v₀=13m/s．取g=10m/s²．求：
（1）钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力．
（2）钢球落地点到抛出点的水平距离．

Answer 1

分析：（1）球从P运动到A点过程中，重力做功mg?2R，摩擦力做功为-μmgL，根据动能定理求出钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时的速度，根据牛顿运动定律求解对轨道的压力．
（2）对全程运用动能定理求出钢球到达B的速度．钢球从B点轨道后做平抛运动，下落的高度为h+8R，由平抛运动的规律可求出钢球落地点到抛出点的水平距离．

解答：解：（1）球从P运动到A点过程由动能定理得  
  mg?2R-μmg?L=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

由牛顿第二定律  FN-mg=m

v 2 1

R

由牛顿第三定律  F_N=-F'_N
解得F'_N=-178N对轨道压力为178N，方向竖直向下．
（2）设球到达轨道末端点速度为v₂，对全程由动能定理得
   -μmg?5L-4mgR=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

解得v₂=7m/s
钢球从B点轨道后做平抛运动，则有
 竖直方向：h+8R=

1

2

gt2
 水平方向：x=v₂t
解得x=7m
答：
（1）钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力为178N，方向竖直向下．
（2）钢球落地点到抛出点的水平距离是7m．

点评：本题是动能定理与牛顿运动定律、平抛运动等知识的综合，速度是它们联系的纽带．已知空间的量，比如高度、距离等，优先考虑动能定理求速度．