Question

20．如图所示，一轻质弹簧小端固定在水平地面上，上端与物体A连接，物体A又与一跨过定滑轮的轻绳相连，绳另一端悬挂着物体B和C，A、B、C均处于静止状态．现剪断B和C之间的绳子，则A和B将做简谐运动．已知物体A质量为3kg，B和C质量均为2kg，弹簧劲度系数为k=100N/m．
（g取10m/s²）试求：
（1）剪断B和C间绳子之前，A、B、C均处于静止状态时，弹簧的形变量x₁；
（2）剪断B和C间绳之后，物体A振动过程中的最大速度v_m及此时弹簧的形变量x₂；
（3）振动过程中，绳对物体B的最大拉力F_max和最小拉力F_min．

Answer 1

分析 （1）分别对A和BC整体受力分析，根据平衡条件求解即可；
（2）根据胡克定律，通过共点力平衡分别求出绳子剪断前弹簧的伸长量以及绳子剪断后，弹簧在平衡位置时的压缩量．发现两个位置伸长量和压缩量相等，则弹簧势能相等，结合机械能守恒定律求出在平衡位置时的速度，即最大速度．
（3）B振动到最低点时拉力最大，振动到最高点时拉力最小，根据牛顿第二定律求出最大拉力和最小拉力．

解答 解：（1）剪断B和C间绳子之前，A，B，C均处于静止状态时，设绳子拉力为F，
对A：m_Ag+kx₁=F，对BC系统：（m_B+m_C）g=F，解得：x₁=0.1m=10cm；
（2）A振动过程受到最大时在平衡位置，此时合力为零，A、B间绳子拉力为F₀，弹簧压缩量为x₂．
对B：F₀=m_Bg，对A：m_Ag=kx₂+F₀，解得：x₂=0.1m=10cm，
剪断B、C间绳子后到速度最大的过程中，机械能守恒，
因x₁=x₂，在这两位置时弹簧的弹性势能相等，A下降的高度和B上升的高度为：d=x₁+x₂=20cm，
由机械能守恒定律得：m_Agd-m_Bgd=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_m²，解得：v_m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m/s；
（3）B振动到最低点时拉力最大，为F_max；振动到最高点时拉力最小，为F_min；
由简谐振动的对称性可知，在最高点与最低点加速度a大小相等，
B在振动过程的最低点：F_max-m_Bg=m_Ba，m_Ag+kx₁-F_max=m_Aa，解得：F_max=28N；
B在振动过程的最高点：m_Bg-F_min=m_Ba，解得：F_min=12N．
答：（1）剪断B和C间绳子之前，A、B、C均处于静止状态时，弹簧的形变量x₁为10cm．
（2）剪断B和C间绳之后，物体A振动过程中的最大速度v_m及此时弹簧的形变量x₂为10cm．
（3）振动过程中，绳对物体B的最大拉力F_max为28N，最小拉力F_min为12N．

点评 本题综合考查了自由落体运动、胡克定律、机械能守恒定律和牛顿第二定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．