Question

5．某电视娱乐节目装置可简化为如图所示模型．倾角θ=37°的斜面底端与水平传送带平滑接触，传送带BC长L=6m，始终以v₀=6m/s的速度顺时针运动．将一个质量m=1kg的物块由距斜面底端高度h₁=5.4m的A点静止滑下，物块通过B点时速度的大小不变．物块与斜面、物块与传送带间动摩擦因数分别为μ₁=0.5、μ₂=0.2，传送带上表面距地面的高度H=5m，g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．
（1）求物块由A点运动到C点的时间；
（2）若把物块从距斜面底端高度h₂=2.4m处静止释放，求物块落地点到C点的水平距离；
（3）求物块距斜面底端高度满足什么条件时，将物块静止释放均落到地面上的同一点D．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物块在斜面上的加速度，结合位移时间公式求出物块从A点运动到B点的时间，物块滑上传送带时，由于速度与传送带速度相等，将做匀速直线运动，结合位移和速度求出匀速运动的时间，从而得出物块由A点运动到C点的时间．
（2）根据动能定理求出物块滑动斜面底端的速度，物块滑上传送带先加速，当速度达到传送带速度后做匀速运动，结合平抛运动的规律求出水平位移的大小．
（3）物块每次均抛到同一点D，由平抛知识知：物块到达C点时速度必须有v_C=v₀，抓住两个临界状态，即滑上传送带一直做匀加速直线运动和滑上传送带一直做匀减速运动，结合动力学知识求出两种临界情况下的高度，从而得出高度的范围．

解答 解：（1）物块从A到B过程：根据牛顿第二定律得：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁
由位移公式有：$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$    
代入数据解得：a₁=2m/s²，t₁=3s．
所以滑到B点的速度：v_B=a₁t₁=2×3m/s=6m/s 
物块在传送带上匀速运动到C，有：
t₂=$\frac{l}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{6}$=1s
所以物块由A到B的时间为：t=t₁+t₂=3s+1s=4s
（2）物块在斜面上运动时，由根据动能定理得：
mgh₂-μ₁mgcosθ$\frac{{h}_{2}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²．
解得：v=4m/s＜6m/s
设物块在传送带先做匀加速运动达v₀，运动位移为x，则：
a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2m/s²，
又 v₀²-v²=2ax，
解得：x=5m＜6m
所以物体先做匀加速直线运动后和皮带一起匀速运动，离开C点做平抛运动，有：
s=v₀t₀，
H=$\frac{1}{2}$gt₀² 　　
联立并代入数据解得：s=6m
（3）因物块每次均抛到同一点D，由平抛知识知：物块到达C点时速度必须有v_C=v₀
①当离传送带高度为h₃时物块进入传送带后一直匀加速运动，则有：
mgh₃-μ₁mgcosθ $\frac{{h}_{3}}{sinθ}$+μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据解得：h₃=1.8m
②当离传送带高度为h₄时物块进入传送带后一直匀减速运动，有：
mgh₄-μ₁mgcosθ $\frac{{h}_{4}}{sinθ}$-μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入数据解得：h₄=9.0m
所以当离传送带高度在1.8m～9.0m的范围内均能满足要求，即：1.8m≤h≤9.0m
答：（1）物块由A点运动到C点的时间为4s；
（2）物块落地点到C点的水平距离为6m；
（3）当1.8m≤h≤9.0m，将物块静止释放均落到地面上的同一点D．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的运用，关键理清物体的运动规律，选择合适的定律或定理进行求解．