Question

18．滑板运动是一种陆上的“冲浪运动”，滑板运动员可在不同的滑坡上滑行，做出各种动作，给人以美的享受，如图是模拟的滑板组合滑行轨道，该轨道有足够长的斜直轨道，半径R₁=1m的凹形圆弧轨道和半径R₂=2m的凸形圆弧轨道组成，这三部分轨道处于同一竖直平面内且依次平滑连接，其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O点与M点处在同一水平面上，运动员踩着滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经过M点滑向N点，P点距M点所在水平面的高度h=2.45m，不计一切阻力，运动员和滑板的总质量为m=50kg，运动员和滑板可视为质点，g=10m/s²
（1）运动员滑到M点时的速度多大？
（2）运动员滑到N点时，滑板对轨道的压力多大？
（3）改变滑板无初速度下滑时距M点所在水平面的高度，求运动员恰好从N点水平飞出时，运动员的出发点距M点所在水平面的高度h₁．

Answer 1

分析 （1）根据运动过程机械能守恒求解；
（2）根据机械能守恒求得在N点的速度，然后根据牛顿第二定律求解运动员受到的支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（3）由运动员恰好飞出，应用牛顿第二定律求得运动员速度，然后根据机械能守恒求得高度．

解答 解：（1）运动员滑动过程中只有重力做功，故机械能守恒，所以有$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，${v}_{M}=\sqrt{2gh}=7m/s$；
（2）运动员滑动过程中只有重力做功，故机械能守恒，所以有$mg（h-{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}$；
再对运动员在N点进行受力分析，应用牛顿第二定律可得：$mg-{F}_{N}=\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{{R}_{2}}=\frac{2mg（h-{R}_{2}）}{{R}_{2}}$
所以，${F}_{N}=mg-\frac{2mg（h-{R}_{2}）}{{R}_{2}}=275N$；
故由牛顿第三定律可得：运动员滑到N点时，滑板对轨道的压力为275N；
（3）运动员恰好从N点水平飞出，那么运动员在N点时球面对运动员的支持力为零，故有$mg=\frac{m{v}_{N}{′}^{2}}{{R}_{2}}$；
又有运动员运动过程机械能守恒，所以有$mg（{h}_{1}-{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{N}{′}^{2}=\frac{1}{2}mg{R}_{2}$
所以，${h}_{1}=\frac{3}{2}{R}_{2}=3m$；
答：（1）运动员滑到M点时的速度为7m/s；
（2）运动员滑到N点时，滑板对轨道的压力为275N；
（3）改变滑板无初速度下滑时距M点所在水平面的高度，那么运动员恰好从N点水平飞出时，运动员的出发点距M点所在水平面的高度h₁为3m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．