Question

12．如图所示，长木板AB放在水平冰面上，小金属块C（可视为质点）以某一初速度从AB的左端A点冲上长木板，此后C做匀减速直线运动、AB做初速度为0的匀加速直线运动．一段时间后，C与AB的速度达到相同，此时二者的共同速度为v=0.40m/s，之后C与AB共同在冰面上滑行了t=0.4s之后停下来．若小金属块C与长木板AB的质量相等，已知C与AB之间的动摩擦因数μ₁=0.25，取g=10m/s²．求：
（1）长木板AB与冰面间的动摩擦因数μ₂；
（2）小金属块C从A点冲上长木板AB时的速度v₀；
（3）小金属块C相对于长木板AB滑行的距离x₀．

Answer 1

分析 （1）C与AB的速度达到相同后，共同在冰面上滑行，做匀减速运动，由运动学规律求出加速度，再由牛顿第二定律求解AB与冰面间的动摩擦因数μ₂．
（2）在C与AB的速度达到相同前，分别以C和AB为研究对象，根据牛顿第二定律求出它们的加速度，再由速度公式求解．
（3）由位移公式分别求出C和AB相对于地的位移，两者之差等于C相对于长木板AB滑行的距离x₀．

解答 解：（1）研究问题时，设小金属块C为物体1，长木板AB为物体2．
C与AB达到共同速度后，共同在冰面上滑行，做匀减速运动，则有：
  a₁₂=$\frac{v-{v}_{0}}{t}$=$\frac{0-0.4}{0.4}$=-1m/s²；
此时C与AB为整体进行受力分析如图2所示：

以物体运动方向为正方向，根据牛顿第二定律得：
-f₂=m₁₂a₁₂，-f₂=μ₂N₁₂，N₁₂=m₁₂g
联立解得 a₁₂=-μ₂g
代入数据解得：AB与冰面间的动摩擦因数 μ₂=0.1
（2）金属块C冲上木板后，取金属块C为研究对象同，C受力如图3所示：
建立坐标，列方程有：
-f₁=m₁a₁，-f₁=μ₁m₁g
解得金属块C的加速度 a₁=-2.5m/s²；
取长木板AB为研究对象，AB受力情况如图4所示：
根据牛顿第二定律得：
  f₁′-f₂=m₂a₂，-f₂=μ（m₁+m₂）g
则得 金属块冲上木板后木板AB的加速度为 a₂=0.5m/s²；
设金属块冲上木板到与木板达到共速所用时间为t₀，木板做初速度为0的匀加速运动，则 v₁₂=v=a₂t₀，得 t₀=$\frac{v}{{a}_{2}}$=0.8s
金属块C冲上木板AB做匀减速运动，由v₁₂=v=v₀-a₁t₀；
解得金属块C从A点冲上木板AB时的速度 v₀=2.4m/s
（3）根据题意，整个运动过程中，金属块C与木板AB之间的运动距离关系如答图5：

金属块C冲上木板AB后，C做匀减速运动，运动的距离：${x_1}={v_0}{t_0}-\frac{1}{2}{a_1}t_0^2=1.12m$
金属块C冲上木板AB后，AB做初速度为0的匀加速运动，运动距离：${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}t_0^2=0.16m$
由图可看出，金属块C相对于长木板AB滑行的距离：x₀=x₁-x₂=0.96m
答：
（1）长木板AB与冰面间的动摩擦因数μ₂为0.1．
（2）小金属块C从A点冲上长木板AB时的速度v₀是2.4m/s．
（3）小金属块C相对于长木板AB滑行的距离x₀是0.96m．

点评 该题涉及到相对运动的过程，要认真分析物体的受力情况和运动情况，并能熟练地运用牛顿第二定律和匀变速直线运动的公式．