Question

19．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动，已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，求：
（1）航天器运行的线速度大小，向心加速度的大小；
（2）月球表面重力加速度g的大小；
（3）月球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 研究航天器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出问题．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所要求解的物理量选取应用．不考虑月球自转的影响，万有引力等于重力．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得航天器运行的线速度大小$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=ma$
得向心加速度的大小$a=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
（2）忽略自转，万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得月球表面的重力加速度大小$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
（3）月球的近地卫星，万有引力提供向心力G
$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得月球上的第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
答：（1）航天器运行的线速度大小$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，向心加速度的大小$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$；
（2）月球表面重力加速度g的大小$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$；
（3）月球上的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{GM}{R}}$

点评 本题要注意向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所要求解的物理量选取应用．