Question

5．如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直于xOy平面向里．一带正电的粒子（不计重力）从M点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t₀时间从N点射出．
（1）求电场强度的大小和方向．
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从M点以相同的速度射入，经$\frac{{t}_{0}}{2}$时间恰从圆形区域的边界上某点射出．求粒子运动的加速度大小．
（3）若撤去电场的同时使磁场反向，磁场的磁感应强度大小不变，带电粒子仍从M点射入，但速度为原来的2倍，粒子从（2）中同一位置离开，求粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）由左手定则判断出粒子所受洛伦兹力方向，然后应用平衡条件求出电场强度大小与电场强度方向．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的加速度．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子运动的半径，然后结合偏转的角度求出时间．

解答 解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v，电场强度为E．
可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向，
且有qE=qvB，已知：2R=vt₀，解得：E=$\frac{2BR}{{t}_{0}}$．
（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，
在y方向位移：y=v$\frac{{t}_{0}}{2}$，解得：y=R，
设在水平方向位移为x，则：x=R，
又有：x=$\frac{1}{2}$a（$\frac{{t}_{0}}{2}$）²，解得：a=$\frac{8R}{{{t}_{0}}^{2}}$．
（3）仅有磁场时，入射速度v'=2v，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：qv'B=m$\frac{v{'}^{2}}{r}$，
由于粒子从（2）中同一位置离开，所以r=R，
又2R=vt₀，则粒子在磁场中运动的时间：t=$\frac{1}{4}$•$\frac{2πR}{v'}$=$\frac{\frac{1}{2}πr}{v'}$=$\frac{π}{8}$t₀．
答：（1）电场强度的大小为$\frac{2BR}{{t}_{0}}$，方向：沿x轴正方向．
（2）粒子运动的加速度大小为$\frac{8R}{{{t}_{0}}^{2}}$．
（3）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{π}{8}$t₀．

点评 解答本题的关键是分析粒子的受力情况，再分析运动情况．对于类平抛运动要掌握分解的方法，对于匀速圆周运动，运用几何知识确定圆心角是关键．