Question

18．如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L固定在水平绝缘桌面上，其中半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端平齐．在与圆心等高的位置处有两金属棒MN、PQ垂直两导轨且与导轨接触良好．已知MN棒的质量为2m，电阻为r；PQ棒的质量为m，电阻也为r．开始时，保持PQ棒不动，将MN棒从圆弧导轨顶端无初速度释放，当MN棒脱离导轨后，再次由静止释放PQ棒，最后两棒都离开导轨落到地面上．MN、PQ两棒落地点到导轨边缘的水平距离之比为1：3．
（1）求MN棒在水平直导轨上滑行的最大加速度a；
（2）求MN棒在导轨上滑行过程中，MN棒产生的焦耳热Q；
（3）若MN棒在导轨上滑行的过程中通过导轨某一横截面的电荷量为q，求PQ棒在水平直导轨上滑行的时间t．

Answer 1

分析 （1）MN棒刚进入水平导轨时，MN棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．根据MN棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL结合求出安培力，即可由牛顿第二定律求解最大加速度．
（2）两棒开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律和水平位移之比求解，根据根据动量定恒和能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热；
（3）根据闭合电路欧姆定律，结合电量表达式，及运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）由题意可知，MN棒刚滑到水平导轨时，其速度达到最大．
设MN棒进入水平导轨的速度为v₀，MN棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
MN棒刚进入水平导轨时，设此时回路的感应电动势为E，
 E=BLv 
感应电流 I=$\frac{E}{2r}$
MN棒受到的安培力为：F_MN=BIL
根据牛顿第二定律，MN棒有最大加速度为
 a=$\frac{{F}_{MN}}{2m}$
联立①～⑥解得：
 a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$
（2）经分析可知，当MN棒离开导轨后，当PQ棒滑上水平导轨后，以v₀做匀速直线运动，设MN棒离开导轨时的速度大小为v₁，两棒做平抛运动历时均为t₀，则有：
$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{{v}_{1}{t}_{0}}=\frac{3}{1}$，
由于MN棒和PQ棒的电阻相同，可知，MN棒在导轨上滑行的过程中，
由能量守恒定律，则有：2Q=2mgR-$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$
解得：Q=$\frac{8}{9}mgR$；
（3）设导轨水平部分的长度为x，MN棒在水平导轨上滑行的时间为△t，则MN棒在水平导轨滑行过程中，回路中的平均感应电流为：$\overline{I}$=$\frac{BLx}{△t（r+r）}$
又q=$\overline{I}$•△t
PQ棒在水平导轨滑行的过程中，做匀速直线运动，则有：x=v₀t；
解得：t=$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$
答：（1）MN棒在水平直导轨上滑行的最大加速度$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$；
（2）MN棒在导轨上滑行过程中，MN棒产生的焦耳热$\frac{8}{9}mgR$；
（3）若MN棒在导轨上滑行的过程中通过导轨某一横截面的电荷量为q，求PQ棒在水平直导轨上滑行的时间$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$．

点评 本题是电磁感应与电路、磁场、力学等知识的综合应用，根据牛顿第二定律求加速度，以及结合运动学能够分析出金属棒的运动情况．考查分析和处理综合题的能力．