Question

4．已知地球的质量为M，半径为R，万有引力常量为G，地球表面重力加速度g=10m/s²．现测得某未知星球的质量是地球的4倍，半径与地球的半径相等．忽略地球及该星球的自转，则：
（1）该星球表面的重力加速度g′多大？
（2）已知地球的第一宇宙速度v=7.9km/s，则该星的第一宇宙速度v′多大？

Answer 1

分析 求解第一宇宙速度（贴近中心天体表面的速度即为第一宇宙速度）应该根据万有引力提供向心力来计算．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．

解答 解：（1）在地球表面：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$①
在未知星球表面：$G\frac{4Mm}{R^2}=mg'$②
联立解得g'=4g=40m/s²
（2）对地球的近地卫星：$G\frac{Mm}{R^2}=\frac{{m{v^2}}}{R}$③
对未知星球的近地卫星：$G\frac{4Mm}{R^2}=\frac{{m{{v'}^2}}}{R}$④
联立解得v'=2v=15.8km/s
答：（1）该星球表面的重力加速度g′为$40m/{s}_{\;}^{2}$
（2）已知地球的第一宇宙速度v=7.9km/s，则该星的第一宇宙速度v′为15.8km/s

点评 本题关键是根据第一宇宙速度和重力加速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度！