Question

19．如图所示的真空管中，质量为m，电量为e的电子从灯丝F发出（速度为零），经过电压U₁加速后，沿中心线射入相距为d的两平行金属板B、C间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上，设B、C间电压为U₂，B、C板长为L₁，平行金属板右端到荧光屏的距离为L₂，求：
（1）电子经过电压U₁加速后的速度大小
（2）电子打到荧光屏上的位置偏离屏中心距离
（3）电子刚要到达荧光屏时的动能．

Answer 1

分析 （1）电子在加速电场中，由动能定理求解获得的速度v₀的大小；
（2）电子在YY'内，做类平抛运动，由牛顿第二定律求得加速度．电子水平方向做匀速直线运动，由水平位移l和v₀求出运动时间．电子在竖直方向做初速度为零的匀加速运动，由位移公式求解侧向偏移量y；电子离开电场后做匀速直线运动，由运动学的公式即可求出；
（3）将电子离开电场区域速度进行分解，求得击中荧光屏的动能．

解答 解：（1）电子在加速电场中加速，有eU₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，得${v}_{0}=\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$
（2）电子在BC之间的加速度为a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$，在BC之间运动的时间：t=$\frac{l}{{v}_{0}}=l\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}}}$
所以，偏转位移$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{U}_{2}{l}^{2}}{4d{U}_{1}}$
当电子从BC的边缘离开电场时粒子的偏转角最大，此时：y=$\frac{1}{2}d$
所以：U₂=$\frac{2{d}^{2}{U}_{1}}{{l}^{2}}$
设离开电场区域速度与水平方向的夹角为θ，
则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{{U}_{2}l}{2{U}_{1}d}$
由几何关系得：y_m=y+l₂tanθ
代入得 y=$\frac{{{U_2}{l_1}}}{{2{U_1}d}}（\frac{l_1}{2}+{l_2}）$
（3）电子打到荧光屏上的位置偏离中心线距离最大时，偏转电场对电子做的功等于eE•y，
由动能定理可知，电子离开偏转电场时的动能：${E}_{k}=e{U}_{1}+\frac{y}{d}•e{U}_{2}$=$e{U}_{1}+\frac{{{U}^{2}}_{2}{{l}_{1}}^{2}e}{4{U}_{1}{d}^{2}}$
答：（1）电子经过加速后获得的速度v₀的大小是$\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$；
（2）电子打到荧光屏上时，偏离中心线的距离为$\frac{{{U_2}{l_1}}}{{2{U_1}d}}（\frac{l_1}{2}+{l_2}）$
（3）电子刚要到达荧光屏时的动能eU₁+$\frac{{{U^2}_2{l_1}^2e}}{{4{U_1}{d^2}}}$．

点评 本题是带电粒子先加速后偏转问题，电场中加速根据动能定理求解获得的速度、偏转电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解和合成，常规问题．