Question

8．如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以v₀的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离将发生变化．已知重力加速度为g．

（1）小木块与木板间的动摩擦因数；
（2）当θ=60°角时，小木块沿木板向上滑行的距离；
（3）当θ=60°角时，小木块由底端沿木板向上滑行再回到原出发点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）抓住小木块做匀速直线运动，结合重力沿斜面向下的分力与摩擦力相等，求出动摩擦因数的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小木块上滑的加速度大小，结合速度位移公式求出上滑的距离．
（3）根据速度时间公式求出上滑的时间，根据牛顿第二定律求出下滑的加速度，结合位移时间公式求出下滑的时间，从而得出总时间．

解答 解：（1）当θ=30°时，物块受重力、支持力和滑动摩擦力处于平衡，有：mgsinθ=μF_N①
F_N=mgcosθ   ②
联立①②得：$μ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）当小木块向上运动时，小木块的加速度为a，则：mgsin θ+μmgcosθ=ma，
根据速度位移公式得，${{v}_{0}}^{2}=2ax$，
代入数据解得x=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
（3）当小木块向上运动时，小木块的加速度为a₁，则：mgsin θ+μmgcos θ=ma₁
则上滑的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$，
代入数据解得${t}_{1}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{2g}$，
当小木块向下运动时，小木块的加速度为a₂，则：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得：${a}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}g$，
根据x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$得，${t}_{2}=\frac{\sqrt{6}{v}_{0}}{2g}$．
则$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）{v}_{0}}{2g}$．
答：（1）小木块与木板间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）小木块沿木板向上滑行的距离为$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
（3）小木块由底端沿木板向上滑行再回到原出发点所用的时间为$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）{v}_{0}}{2g}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥，注意上滑的加速度和下滑的加速度不等．