Question

12．如图所示，两个质量相同的小球，用细线悬于同一点O₁做圆锥摆运动，两球做圆周运动的轨道在同一倒圆锥面上，悬点 O₁、两圆轨道的圆心O₂、O₃及锥顶O₄在同一竖直线上，O₂、O₃将O₁ O₄三等分，则甲、乙两球运动的角度之比为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，合力提供向心力，即重力和绳子作用力的合力沿水平方向指向圆心，结合几何关系求解即可．

解答 解：两球都在水平面内做匀速圆周运动，合外力提供向心力，以任意一球为例，受力分析，受到重力、绳子拉力，两个力的合力提供向心力，设绳长为L，绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：
mgtanθ=mω²Lsinθ
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
悬点 O₁、两圆轨道的圆心O₂、O₃及锥顶O₄在同一竖直线上，O₂、O₃将O₁ O₄三等分，则${O}_{1}{O}_{2}=\frac{1}{2}{O}_{2}{O}_{3}$，而绳长相等，
根据几何关系可知，甲绳与竖直方向夹角的余弦值与乙绳与竖直方向夹角的余弦值之比为$\frac{{O}_{1}{O}_{2}}{{O}_{1}{O}_{3}}=\frac{1}{2}$，
则$\frac{{ω}_{甲}}{{ω}_{乙}}=\sqrt{2}$，故C正确，ABD错误．
故选：C

点评 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律以及合成法分析，难度适中．