Question

16．一个质量为M的小车，静止在光滑水平面上，在小车的光滑板面上放一个质量为m的小物块（可视为质点），小车质量M=5m，小物块距小车右端距离为l．如图所示，现沿平行车身方向加水平向右面恒力F，小物块由静止开始向右运动，之后与小车右端挡板相碰，碰撞中无机械能损失，设小车足够长，小物块不会从小车上掉下来，求：
（1）小物块与小车右端挡板第一次相撞后，小物块相对地面向左运动的最大距离．
（2）第二次碰撞中，物块对小车的冲量．
（3）第n次碰撞后小车的速度以及小车在发生第n次碰撞前走行的总位移．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可以求出碰撞前物块的速度，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后物块与小车的速度，由动能定理可以求出物块相对于地面的位移．
（2）物块与小车碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后的速度，然后应用动量定理可以求出物块对小车的冲量．
（3）求出M的速度，然后应用位移公式求出小车的位移．

解答 解：（1）物块向右加速过程，由动能定理得：
Fl=$\frac{1}{2}$mv₁₀²-0，
解得：v₁₀=$\sqrt{\frac{2Fl}{m}}$，
物块与小车碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁₀=mv₁+MV₁，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₁₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$MV₁²，
解得：v₁=-$\frac{2}{3}$v₁₀，V₁=$\frac{1}{3}$v₁₀，
设相对于地面向左最大距离为x，由动能定理得：
-Fx=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：x=$\frac{4}{9}$l；
（2）设第二次碰前m的速度为v₂₀，则：$\frac{{v}_{1}+{v}_{20}}{2}$=V₁，
第二次碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₂₀=mv₂+MV₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₂₀²+$\frac{1}{2}$MV₁²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$MV₂²，
解得：V₂=$\frac{2}{3}$v₁₀；
对M，由动量定理得：I=MV₂-MV₁，
解得：I=$\frac{5}{3}$$\sqrt{2Flm}$；
（3）M每次碰后的速度：V₁=$\frac{1}{3}$v₁₀，V₂=$\frac{2}{3}$v₁₀，V₃=$\frac{3}{3}$v₁₀，…V_n=$\frac{n}{3}$v₁₀=$\frac{n}{3}$$\sqrt{\frac{2Fl}{m}}$，
每次碰撞的时间间隔△t都相等，且F△t=2mv₁₀，
第n次碰撞前走行的总位移：x_总=V₁△t+V₂△t+V₃△t+…+V_n-1△t，
解得：x_总=$\frac{2}{3}$n（n-1）l；
答：（1）小物块与小车右端挡板第一次相撞后，小物块相对地面向左运动的最大距离为$\frac{4}{9}$l．
（2）第二次碰撞中，物块对小车的冲量为$\frac{5}{3}$$\sqrt{2Flm}$．
（3）第n次碰撞后小车的速度为：$\frac{n}{3}$$\sqrt{\frac{2Fl}{m}}$，小车在发生第n次碰撞前走行的总位移为$\frac{2}{3}$n（n-1）l．

点评 本题考查了动量守恒定律与机械能守恒定律的应用，分析清楚物块与小车的运动过程，应用动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、动量定理即可正确解题．