Question

15．如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中整个磁场由n个宽度皆为x₀的条形匀强磁场区域1、2、…、n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B、…、nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．

（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电荷量q；
（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F₀，让它从磁场区1左侧边界处开始运动，当向右运动距$\frac{{x}_{0}}{2}$时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t；
（3）对导体棒ab施加水平向右的拉力，让它从距离磁场区1左侧x=x₀的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的拉力，使棒ab保持做匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出平均电流，带入公式Q=It即可求出电量．
（2）线框开始做加速度逐渐减小的加速运动，然后匀速运动，对于变加速过程根据数学知识可以求出时间．
（3）根据动能定理可以求出导体棒进入磁场时速度大小，在磁场中匀速运动因此安培力等于力F₁，根据受力平衡可以求出力F₁，在磁场中运动时，导体棒克服安培力做功，转化为回路中的电热，根据功能关系写出安培力做功表达式，然后依据数学知识求解．

解答 解：（1）电路中产生的感应电动势E=$\frac{△Φ}{△t}$．通过电阻R的电荷量q=I△t=$\frac{E△t}{R}$．
导体棒穿过1区过程△Φ=BLx₀．
解得q=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$
（2）棒匀速运动的速度为v，则v=$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
设棒在前$\frac{{x}_{0}}{2}$距离运动的时间为t₁，则
由动量定律：F₀ t₁-BqL=mv；
解得：t₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
设棒在后x0/2匀速运动的时间为t₂，则t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$
所以棒通过区域1所用的总时间：t=t₁+t₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）进入1区时拉力为F₁，速度v，则有F₁x=$\frac{1}{2}$mv²，
F₁-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=0．
解得F₁=$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$；
v=$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$．进入i区时的拉力F_i=$\frac{（iB）^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$．
导体棒以后通过每区都以速度v做匀速运动，由功能关系有
Q=F₁x₀+F₂x₀+F₃x₀+…+F_nx₀
解得Q=$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．
答：（1）导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电荷量q为$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）棒通过磁场区1所用的时间t为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q为$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．

点评 本题考查了电磁感应中力学与功能问题，物理过程比较简单，注意明确动能定理的应用即可，但难点在于应用数学知识解答物理问题，要注意在学习中培养应用数学分析物理问题的能力．