Question

11．如图所示，有一平行板电容器，极板的长度为L，极板间的距离为d，板间电场为匀强电场，板间电压可调．电容器右端有一挡板，挡板上距离上极板为$\frac{L}{2}$的A处有一个小孔．挡板右侧分布有宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，磁场右边界放置荧光屏．有一群质量为m、电荷量为q的带负电粒子流，紧贴着上极板从电容器左端垂直电场方向射入，速度大小分布在v₀与2v₀之间，调节电容器板间电压，可使得粒子流穿过小孔并打到荧光屏上留下痕迹．已知$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{m}{qB}$，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．试求：
（1）极板电压的调节范围；
（2）从小孔射入磁场的粒子流与水平方向的夹角；
（3）粒子流在荧光屏上留下痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出极板间的临界电压，然后确定电压范围．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子从小孔射入磁场时电子流与水平方向的夹角．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，作出粒子运动轨迹，然后求出粒子流在荧光屏上留下的痕迹长度．

解答 解：设粒子进入电场时的速度为v，由题意可知：v₀≤v≤2v₀；
（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：L=vt，竖直方向：$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}^{2}}{qL}$，极板间电压：U=Ed=$\frac{m{v}^{2}d}{qL}$，
当v=v₀时U₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}d}{2qL}$，当v=2v₀时U₂=$\frac{4m{v}_{0}^{2}d}{qL}$，
则电压范围：$\frac{m{v}_{0}^{2}d}{qL}$≤U≤$\frac{4m{v}_{0}^{2}d}{qL}$；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{\;}}$=$\frac{at}{v}$=$\frac{\frac{qE}{m}×\frac{L}{v}}{v}$=$\frac{qEL}{m{v}^{2}}$=1，解得：θ=45°；
（3）粒子进入磁场时的速度：v′=$\frac{v}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v，
由于v₀≤v≤2v₀，则：$\sqrt{2}$v₀≤v′≤2$\sqrt{2}$v₀；
粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv′}{qB}$，
由题意知：$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{m}{qB}$，则：r=$\frac{Lv′}{{v}_{0}}$，
由于：$\sqrt{2}$v₀≤v′≤2$\sqrt{2}$v₀，则：$\sqrt{2}$L≤r≤2$\sqrt{2}$L，
粒子轨道半径：r_min=$\sqrt{2}$L，r_max=2$\sqrt{2}$L，
由于磁场宽度为L，粒子进入磁场时速度方向与水平方向成45°，
则$\frac{L}{cos45°}$=$\sqrt{2}$L=r_min，进入磁场时速度最小的粒子圆心在磁场右边界上，
即粒子离开磁场时速度方向与磁场右边界垂直，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识得：BC=r_min-r_minsin45°=（$\sqrt{2}$-1）L，
BD=$\sqrt{{r}_{max}^{2}-{L}^{2}}$-2r_mincos45°=$\sqrt{（2\sqrt{2}{L）}^{2}-{L}^{2}}$-2×$\sqrt{2}$Lcos45°=（$\sqrt{7}$-2）L，
粒子流在荧光屏上留下痕迹的长度：x=BD-BC=（$\sqrt{7}$-$\sqrt{2}$-1）L；
答：（1）极板电压的调节范围是$\frac{m{v}_{0}^{2}d}{qL}$≤U≤$\frac{4m{v}_{0}^{2}d}{qL}$；
（2）从小孔射入磁场的粒子流与水平方向的夹角为45°；
（3）粒子流在荧光屏上留下痕迹的长度为（$\sqrt{7}$-$\sqrt{2}$-1）L．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的前提与关键，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用．