Question

9．一辆质量m=10t的卡车驶过半径R=80m的一段圆弧形桥面，重力加速度g取10m/s²．
（1）若桥面为凹形，求卡车以20m/s的速度通过桥面最低点时对桥面的压力．
（2）若桥面为凸形，求卡车以20m/s的速度通过桥面最高点时对桥面的压力．
（3）卡车以多大的速度通过凸形桥面最高点时对桥面刚好没有压力？（最后结果可含根号）

Answer 1

分析 汽车受重力和向上的支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式即可求解出支持力，压力与支持力是作用力与反作用力，大小相等；当对桥面刚好没有压力时，只受重力，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式即可求解．

解答 解：（1）过凹形桥时有：N-mg=m$\frac{v^2}{{{R^{\;}}}}$
得N=mg+m$\frac{v^2}{R}$=（10×10³×10+10×10³×$\frac{2{0}^{2}}{80}$）N=1.5×10⁵N．
根椐牛顿第三定律，车对桥的压力大小N'=1.5×10⁵N．
（2）过凸形桥时有：G-N₁=m$\frac{v^2}{R}$得：N₁=G-$\frac{{m{v^2}}}{R}$=（10×10³×10-10×10³×$\frac{2{0}^{2}}{80}$）N=5×10⁴N．
由牛顿第三定律，车对桥顶的压力大小为5×10⁴N．
（3）当对桥面刚好没有压力时，只受重力，重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×80}=20\sqrt{2}$m/s
答：（1）若桥面是凹形桥，汽车以20m/s的速度通过桥的最低点时，对桥面压力为1.5×10⁵N；
（2）若桥面是凸形桥，汽车以10m/s的速度通过桥的最高点时，对桥面压力为5×10⁴N．
（3）桥车以20$\sqrt{2}$m/s的速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．

点评 汽车过拱桥关键在于找到向心力来源，然后根据合力等于向心力列式求解，难度适中．