Question

15．如图所示，质量为m的小球（可看作质点）在竖直放置的半径为R的固定光滑圆环轨道内运动．若小球通过最高点时的速率为v₀=$\sqrt{2gR}$，下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球在最高点时只受到重力作用
• B． 小球在最高点对圆环的压力大小为2mg
• C． 小球绕圆环一周的时间等于$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
• D． 小球经过最低点的对轨道压力为7mg

Answer 1

分析 小球在最高点靠竖直方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力大小．根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度，再根据向心力公式即可求得在最低点时压力．

解答 解：A、根据牛顿第二定律有：mg+N=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得N=mg．故小球在最高点对圆环有压力，压力大小为mg，故AB错误；
C、小球做的运动不是匀速圆周运动，无法求出运动的时间．故C错误．
D、小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒，设小球到达最低点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律
mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{6gR}$，小球在最低点时，受到的合外力提供小球做圆周运动的向心力，设轨道对小球的支持力为N，根据牛顿第二定律和圆周运动公式
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；代入数据解得：N=7mg
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力：N′=N=7mg．故D正确．
故选：D．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律和牛顿第二定律，关键理清向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．