Question

1．假设在半径为R的某天体发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，该天体表面的重力加速度为g，不考虑天体自转的影响．下列关于该天体密度ρ正确的是（　　）

• A． ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• B． ρ=$\frac{3π}{GT}$
• C． ρ=$\frac{3g}{4πRG}$
• D． ρ=$\frac{g}{4πRG}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量，结合天体的体积求出天体的密度

解答 解：A、B、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，得天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
根据密度的定义式得天体的密度为$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，则A正确，B错误
　C、D、由黄金代换：gR²=GM  则$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$，$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πRG}$，则C正确，D错误
故选：AC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，结合轨道半径和周期求解中心天体的质量