Question

7．在一次野外穿越中，某驴友遇到一壕沟，如图所示．壕沟的底部O到驴友所在的位置A 处于同一竖直线上，高度差为2h，BC为水平平台，C点到O点的水平距离为2h，到O点的竖直高度为h，壕沟曲线OB为抛物线，在图示坐标系中，其方程为y=$\frac{x^2}{2h}$，驴友从A处沿水平方向跳出．（已知驴友的质量为m，忽略空气阻力，重力加速度为g）问：
（1）若驴友能落到平台BC上，则他跳出时最小的速度多大？
（2）若驴友自A点跳出的速度为v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}}$gh，求他落地点位置．
（3）若驴友跳出时的动能为$\frac{3mgh}{5}$，求他落地时的动能．

Answer 1

分析 （1）从A点做平抛运动，竖直方向自由落体运动，水平方向匀速运动，刚好到达B点速度最小，即可求得最小速度；
（2）做平抛运动，设落地点坐标为（x，y），即在抛体运动的轨迹上，又在OB的抛物线上，即可求得；
（3）先判断出物体落地点，即可根据动能定理求得落地动能

解答 解：（1）恰好落到C对应最小的起跑速度v_C0
B点的水平坐标${x_B}=\sqrt{2h{y_B}}=\sqrt{2}h$
由平抛运动规律有x_B=v_bt       
 $2h-{y_B}=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${v_b}=\sqrt{gh}$
（2）设运动的时间为t，落点坐标为x，y．x=v₀t
$2h-{y_{\;}}=\frac{1}{2}g{t^2}$
$y=\frac{x^2}{2h}$
解得$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$，$y=\frac{2}{3}h$
（3）落到B点时初动能${E_{Kb}}=\frac{1}{2}mgh$
落到C点时初动能${E_{Kc}}=\frac{1}{2}m{v_2}^2$
${v_c}=\frac{2h}{{\sqrt{\frac{2h}{g}}}}=\sqrt{2gh}$得  E_Kc=mgh
可见，初动能$\frac{3mgh}{5}$正好在两个E_K之间，帮驴友落在平台BC上．根据动能定理得E_k一E_k0=mgh
${E_k}=\frac{5mgh}{8}$
答：（1）若驴友能落到平台BC上，则他跳出时最小的速度为$\sqrt{gh}$
（2）若驴友自A点跳出的速度为v₀=$\sqrt{\frac{1}{2}}$gh，他落地点位置为$（\frac{2\sqrt{3}}{3}h，\frac{2}{3}h）$．
（3）若驴友跳出时的动能为$\frac{3mgh}{5}$，他落地时的动能为$\frac{5mgh}{8}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住临界状态，结合运动学公式和动能定理灵活求解．