Question

17．在纸平面上有一长为h的光滑绝缘空心细管MN，管的M端内有一带正电的小球P₁，在纸平面上N端的正右前方2h处有一个不带电的小球P₂，开始时P₁相对管静止，管水平速度v₁，小球P₂在纸平面上沿着以于MN延长线方向成45°角的速度v₂运动．设管的质量远大于P₁的质量，P₁在管内的运动对管的运动的影响可以忽略（不计两小球的重力）．已知P₁离开N端时相对纸面的速度大小恰好为$\sqrt{2}$v₁，且在离开管后最终能与P₂相碰，空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里．试求：
（1）P₁的比荷
（2）v₁和v₂的比值．

Answer 1

分析 （1）小球P₁在管中水平向右运动，受到指向N的洛伦兹力作用而做加速运动，根据小球离开N端时的速度大小，根据运动的合成与分解可以求出沿MN方向的分速度，从而求出小球的加速度，根据牛顿运动定律得到比荷的大小；
（2）P₁离开管口后洛伦兹力作用下做圆周运动，根据已知条件求出P₁做圆运动的起点，同时求得P₂所在的位置，根据圆周运动的周期性及相遇条件求解即可．

解答 解：（1）F₁为P₁参与的运动而受到指向N端的洛伦兹力，
其值为：F₁=qu₁B（其中q＞0，为P₁的电量），
P₁对应有指向N端的加速度：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{q{v}_{1}B}{m}$ （其中m为P₁的质量），
P₁在管中运动会使它受到另一个向左的洛伦兹力，此力与管壁对P₁向右的力所抵消，
P₁到达N端时具有沿管长方向的速度：u=$\sqrt{2ah}$=$\sqrt{2{v}_{1}Bh\frac{q}{m}}$
所以，P₁对纸平面的速度大小为v=$\sqrt{{u}^{2}+{v}_{1}^{2}}$，又因为v=$\sqrt{2}$v₁，所以u=v₁，
即：2v₁Bh$\frac{q}{m}$=v₁²，所以P₁的比荷为：$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{1}}{2Bh}$；
（2）P₁从M端到N端经历的时间为：
t₁=$\sqrt{\frac{2h}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hm}{q{v}_{1}B}}$=$\frac{2h}{{v}_{1}}$，
P₁离开管后在纸平面上做匀速圆周运动，半径与周期分别为：
R=$\frac{mv}{qB}$=2$\sqrt{2}$h，T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πh}{{v}_{1}}$，
P₁经t₁时间已随管朝正右方向运动：s₁=v₁t₁=2h，
所以P₁离开N端的位置恰好为P₂的初始位置，而P₂经时间t₁已运动到位置s₂，
路程：s₂=v₂t₁=2h$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$，
所以P₁只能与P₂相碰在图中S处，相遇时必为：t=t₁+（k+$\frac{1}{2}$）T，k=0、1、2、3…，
且要求P₂在这段时间内恰好走过2R的路程，因此有：v₂t=2R=4$\sqrt{2}$h，
即得：v₂=4$\sqrt{2}$$\frac{h}{t}$=$\frac{2\sqrt{2}{v}_{1}}{1+（2k+1）π}$，所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{1+（2k+1）π}{2\sqrt{2}}$  （k=0、1、2、3…）
答：（1）P₁的比荷为$\frac{{v}_{1}}{2Bh}$；
（2）v₁和v₂的比值：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{1+（2k+1）π}{2\sqrt{2}}$  （k=0、1、2、3…）．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，解决本题的关键是根据粒子的受力分析粒子在管中的运动情况，离开管口后粒子做匀速圆周运动，画出粒子相碰时的草图，确定位移关系，注意圆周运动的周期性是正确解题的关键．