题目内容
8．如图甲所示，平行金属板MN极板间距d=0.4m，板长L=0.4m，两板间加如图乙所示的电压，在板的右侧有垂直纸面向外的有界匀强磁场，虚线AB、AC为磁场的边界线，磁感应强度大小B=2.5×10-2T，磁场范围足够大，有一粒子源S沿金属板中心轴线方向连续射出比荷为$\frac{q}{m}$=4.0×106C/kg、速度为v0=2.0×104m/s带正电的粒子，粒子最后从AC边界射出．（带电粒子在偏转电场中的时间极短，粒子通过电场时两极板间的电压可认为不变）求：
（1）t=0时刻发射出的粒子在磁场中做圆周运动的半径R0；
（2）t=$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻发射出的粒子进入磁场时速度的大小；
（3）不同时刻发射出的粒子，在磁场中运动的时间不同，求0～t0时间内发射出的粒子在磁场中运动的最长时间．
分析 （1）根据洛伦兹力提供圆周运动向心力由粒子运动速度求得运动半径；
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解分别求得粒子在竖直方向与水平方向的速度从而求得粒子离开偏转电场时的速度大小即可；
（3）作出粒子进入磁场中的运动轨迹，由运动轨迹得出粒子在磁场中运动的时间与粒子进入磁场时的偏转角有关，求得粒子在磁场中运动的时间的长短由粒子在加速电场中偏转角的大小决定，再根据类平抛运动特点求得对应的最长运动时间即可．
解答 解：（1）t=0时刻偏转电压为0，发射出的粒子匀速通过极板，在磁场中运动的速度大小为v0，在磁场中运动洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
可得${R}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{qB}=\frac{{v}_{0}}{\frac{q}{m}B}=\frac{2.0×1{0}^{4}}{4.0×1{0}^{6}×2.5×1{0}^{-2}}m$=0.2m
（2）$t=\frac{{t}_{0}}{2}$时刻极板间电压U'=$\frac{1}{2}U$，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向（即垂直于金属板方向）的分速度为vy，则有：
$q\frac{U′}{d}=ma$
L=v0t
vy=at=$\frac{q\frac{U}{2}}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}$
可得粒子射入磁场时速度大小为$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+（\frac{q\frac{U}{2}}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}}$=$\sqrt{（2.0×1{0}^{4}）^{2}+（4.0×1{0}^{6}×{\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×1{0}^{2}}{2}}{0.4}•\frac{0.4}{2.0×1{0}^{4}}）}^{2}}$m/s=$\sqrt{\frac{13}{3}}×1{0}^{4}m/s$
（3）设粒子射出极板时速度的大小为v，偏转角为α，在磁场中圆周运动的半径为R，由题意则有：
$v=\frac{{v}_{0}}{cosα}$
又洛伦兹力提供向心力有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
可得半径R=$\frac{{R}_{0}}{cosα}$
粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图，
圆心为O'，与AC交点为D，设∠O′DO=β，根据几何关系有：
$\frac{d}{2}+\frac{L}{2}tanα=Rcosα+Rsinβ$
又$\frac{d}{2}=\frac{L}{2}$=R0
可解得：sinα=sinβ，即α=β
粒子在磁场中运动的周期为T=$\frac{2πm}{qB}$
则粒子在磁场中运动的时间t=$\frac{\frac{π}{2}+2α}{2π}T=\frac{m（π+4α）}{2qB}$
由此可知，当粒子射入磁场时速度偏转角越大，则粒子在磁场中运动的时间就越大，假设极板间电压为最大值U时，粒子能射出电场，则粒子在磁场中运动的时间最长．
当电压最大时粒子射入磁场时沿y方向的分速度${v}_{ym}=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}m/s$
y方向偏转距离：${y}_{m}=\frac{{v}_{ym}}{2}•\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{15}m＜0.2m$
说明粒子可以射出极板此时粒子速度偏转角最大声，设为αm
则$tan{α}_{m}=\frac{{v}_{ym}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
即${α}_{m}=\frac{π}{6}$
故粒子在磁场中运动的最长时间${t}_{m}=m\frac{（π+4{α}_{m}）}{2qB}=\frac{5πm}{6qB}$
代入数据可得tm=$\frac{π}{12}×1{0}^{-4}s$
答：（1）t=0时刻发射出的粒子在磁场中做圆周运动的半径R0为0.2m；
（2）t=$\frac{{t}_{0}}{2}$时刻发射出的粒子进入磁场时速度的大小为$\sqrt{\frac{13}{3}}×1{0}^{4}m/s$；
（3）不同时刻发射出的粒子，在磁场中运动的时间不同，求0～t0时间内发射出的粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{π}{12}×1{0}^{-4}s$．
点评 本题应注意题意中给出的条件，在粒子穿出电场的时间极短，电压看作不变；同时要注意带电粒子在磁场中的偏转类题目一定要找清几何关系．
在天文观测中，因为观测视角的问题，有时会看到一种比较奇怪的“双星”系统：与其它天体相距很远的两颗恒星，在同一直线上往返运动，它们往返运动的中心相同，周期也一样．模型如图所示，恒星A在A1A2之间往返运动，恒星B在B1B2之间往返运动，且A1A2=a，B1B2=b，现观测得它们运动的周期为T，恒星A、B的质量分别为M、m，万有引力常量G，则（ ）| A． | M+m=$\frac{{4π^2{（{a+b}）}^3}}{GT^2}$ | B． | M+m=$\frac{{π^2{（{a+b}）}^3}}{2GT^2}$ | ||
| C． | M+m=$\frac{{π^2{（{a-b}）}^3}}{2GT^2}$ | D． | M+m=$\frac{π^2（a^3+b^3）}{2GT^2}$ |
质量为1kg的铁块以4m/s的速度滑向静止在光滑水平面上的质量为3kg的小车，最后它们以共同速度运动，铁块与小车间的滑动摩擦力为它们间弹力的0.2倍，试求此过程经历的时间（g取10m/s2）
| A． | 光纤通信是利用了全反射的原理 | |
| B． | 无色肥皂液吹出的肥皂泡呈彩色是由于光照射时发生了薄膜干涉 | |
| C． | 人们眯起眼睛看灯丝时看到的彩色条纹是光的偏振现象 | |
| D． | 麦克斯韦提出光是一种电磁波并通过实验证实了电磁波的存在 |
| A． | 一弹簧振子沿水平方向做简谐运动，则该振子所做的运动是匀变速直线运动 | |
| B． | 在某地的单摆，若摆长不变，当使摆球的质量增加、摆球经过平衡位置时的速度减小时，单摆做简谐运动的频率将不变，振幅将变小 | |
| C． | 做简谐运动的物体，每次经过同一位置时，速度一定相同 | |
| D． | 单摆在周期性外力作用下振动时，若外力的频率越大，则单摆的振幅就越大 |
在均匀介质中，t=0时刻振源O沿+y方向开始振动，t=0.9时x轴上0至14m范围第一次出现图示的简谐横波波形，由此可以判断：波的周期为0.4s，x=20m处质点在0～1.2s内通过的路程为4m．