Question

16．已知火星的一个卫星作圆周运动的轨道半径为r、周期为T，火星可视为半径为R的均匀球体．
求：（1）火星表面的重力加速度；
（2）勇气号火星探测器火星，在它着陆的最后阶段，降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．

Answer 1

分析 （1）结合万有引力等于重力和万有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度．
（2）根据动能定理求出卫星第二次落到火星表面时的速度大小．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²r，
根据万有引力等于重力得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
联立两式解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．
（2）根据动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{T}^{2}{R}^{2}}}$．
答：（1）火星表面的重力加速度为：$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$．
（2）它第二次落到火星表面时速度的大小为：$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{T}^{2}{R}^{2}}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能熟练运用．