Question

7．如图所示，一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，初始时刻小球静止于P点，第一次小球在水平拉力F作用下，从P点缓慢地移动到Q点，此时轻绳与竖直方向夹角为θ，张力大小为T₁，第二次在水平恒力F′作用下，从P点开始运动并恰好能到达Q点，至Q点时轻绳中的张力大小为T₂，关于这两个过程，下列说法中正确的是（不计空气阻力，重力加速度为g）（　　）

• A． 第一个过程中，拉力F在逐渐变大，且最大值一定大于F′
• B． 两个过程中，第一个过程轻绳张力一直变大，第二个过程轻绳张力先变大后变小
• C． T₁=$\frac{mg}{cosθ}$，T₂=mg
• D． 第二个过程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先增大后减小

Answer 1

分析 第一次小球在水平拉力F作用下，从P点缓慢地移动到Q点，则小球处于平衡状态，第二次在水平恒力F′作用下，从P点开始运动并恰好能到达Q点，则到达Q点时速度为零，由于重力和拉力都是恒力，可以把这两个力合成为新的“重力”，则第二次小球的运动可以等效于单摆运动，找出“最低点”，最低点的速度最大，在Q点速度为零，则向心力为零，判断T₂与mg的关系

解答 解：A、第一次小球在水平拉力F作用下，从P点缓慢地移动到Q点，则小球处于平衡状态，根据平衡条件得：F=mgtanθ，随着θ增大，F逐渐增大，
第二次从P点开始运动并恰好能到达Q点，则到达Q点时速度为零，在此过程中，根据动能定理得：F′lsinθ=mgl（1-cosθ），解得：F′=mgtan$\frac{θ}{2}$，因为θ＜90°，所以tan$\frac{θ}{2}$＜mgtanθ，则F＞F′，第一次运动过程中，根据几何关系可知，绳子的拉力T=$\frac{mg}{cosθ}$，所以轻绳的张力变大，第二次由于重力和拉力都是恒力，可以把这两个力合成为新的“重力”，则第二次小球的运动可以等效于单摆运动，当绳子方向与重力和F′方向在同一直线上时，小球处于“最低点”，最低点的速度最大，此时绳子张力最大，所以第二次绳子张力先增大，后减小，故AB正确；
C、第一次运动到Q点时，受力平衡，根据几何关系可知，T₁=$\frac{mg}{cosθ}$，第二次运动到Q点时，速度为零，则向心力为零，则绳子拉力T₂=mgcosθ+F′sinθ=mgcosθ+$\frac{mg（1-cosθ）}{sinθ}$=mg，故C正确；
D、第二个过程中，重力和水平恒力F′的合力是个恒力，在等效最低点时，合力方向与速度方向垂直，此时功率最小为零，到达Q点速度也为零，则第二个过程中，重力和水平恒力F′的合力的功率先增大，后减小，再增大，最后再减小为0，故D错误．
故选：ABC．

点评 本题的难点在第二次拉动小球运动过程的处理，由于重力和拉力都是恒力，可以把这两个力合成为新的“重力”，则第二次小球的运动可以等效于单摆运动，根据单摆的知识求解，难度适中．