Question

3．如图所示，质量为2m的光滑曲线轨道静止在光滑水平面上，轨道高为h，底端切线水平，轨道右端有一竖直弹性挡板，把一质量为m的小球从轨道顶端由静止释放．小球沿轨道下滑进入水平面，与竖直挡板碰撞后以原速率弹回．求：
i．小球第一次到达水平面时的速率大小．
ii．小球第一次返回曲线轨道时能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）两物体在运动中不受外力作用，故动量守恒，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律可坟得小球第一次到达水平面时的速度大小；
（2）小球原速率返回，分别根据动量守恒定律以及机械能守恒定律可求得上升的高度．

解答 解：i．设向左为正方向；
在小球从轨道上滑下的过程中；根据动量守恒定律有：
0=2mv₁+mv₂①
根据机械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}$×2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²②
解得：v₁=$\sqrt{\frac{gh}{3}}$； v₂=-2$\sqrt{\frac{gh}{3}}$
即小球第一次到达水平面时的速度大小为2$\sqrt{\frac{gh}{3}}$ ③
ii．小球与挡板碰撞后以原速率返回，从水平面到滑到最高点的过程中
2mv₁+m（-v₂）=（2m+m）v  ④
mgh'=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$m（v₂）²-$\frac{1}{2}$（2m+m）v^{2 ⑤}
解得h'=$\frac{1}{9}$h；
答：i．小球第一次到达水平面时的速率大小为2$\sqrt{\frac{gh}{3}}$
ii．小球第一次返回曲线轨道时能上升的最大高度为$\frac{h}{9}$．

点评 本题考查动量守恒定律的应用，要注意正确分析运动过程，明确动量守恒定律以及机械能守恒定律的应用，并能正确联立方程求解．