Question

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底. 在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示. 现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径＝0.100m，井的半径＝2，水的密度＝1.00×10³kg/m/³，大气压＝1.00×10⁵Pa. 求活塞质量，不计摩擦，重力加速度g＝10m/s².）

Answer 1

解：从开始提升到活塞升至内外水面高度差为的过程中，活塞始终与管内液体接触。（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论。）设活塞上升距离为，管外液面下降距离为，

                                                                                                         

因液体体积不变，有：                           

得      

题给H=9m＞h₁，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程。

活塞移动距离从零到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功。因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即

                                                    

其他力有管内、外的大气压力和拉力。因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功，故外力做功就只是拉力做的功，由功能关系知

                                                              

即                             

活塞移动距离从到的过程中，液面不变，是恒力，做功

                              

所求拉力F做的总功为