Question

19．如图所示，平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L，仅在虚线MN下面的空间存在着磁感应强度随高度变化的磁场（在同一水平线上各处磁感应强度相同），磁场方向垂直纸面向里导轨上端跨接一定值电阻R，质量为m的金属棒两端各套在导轨上并可在导轨上无摩擦滑动，导轨和金属棒的电阻不计，将导轨从O处由静止释放，进入磁场后正好做匀减速运动，到达P处时速度为M处速度的$\frac{1}{2}$，O点和P点到MN的距离相等为h，重力加速度为g．若已知磁场上边缘（紧靠MN）的磁感应强度为B₀，求：
（1）求金属棒在磁场中所受安培力F₁的大小；
（2）求P处磁感应强度B_P；
（3）在金属棒运动到P处的过程中，电阻上共产生多少热量？

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的速度位移公式求出金属棒进入磁场的速度，抓住金属棒进入磁场后做匀减速直线运动，可知安培力的大小不变，结合安培力公式，切割产生的感应电动势公式和欧姆定律求出安培力的大小．
（2）抓住进入磁场时的安培力和到达P点时的安培力相等求出P处磁感应强度B_P；
（3）根据能量守恒求出电阻R上产生的热量．

解答 解：（1）从O→MN过程中棒做自由落体，有：
v²=2gh，
解得：v=$\sqrt{2gh}$，
从MN→P的过程中做匀减速运动，故F₁大小不变，有：
F₁=B₀I_MNL，
又${I}_{MN}=\frac{BLv}{R}$，
解得：${F}_{1}=\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}{R}\sqrt{2gh}$．
（2）又F₁=B_PLI_P=${B}_{P}L•\frac{{B}_{P}L•\frac{v}{2}}{R}$=$\frac{{{B}_{P}}^{2}{L}^{2}}{2R}\sqrt{2gh}$，
解得：${B}_{P}=\sqrt{2}{B}_{0}$．
（3）根据能量守恒得，棒从MN→P过程中产生热量为：
$Q=mgh+[\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{v}{2}）^{2}]$=$\frac{7}{4}mgh$．
答：（1）金属棒在磁场中所受安培力F₁的大小为$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}{R}\sqrt{2gh}$；
（2）、P处磁感应强度B_P为$\sqrt{2}{B}_{0}$；
（3）在金属棒运动到P处的过程中，电阻上共产生热量为$\frac{7}{4}mgh$．

点评 考查棒在切割感应线产生感应电流，在磁场中受到安培力作用，掌握运动学公式与牛顿第二定律相综合，理解法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的应用，注意进入磁场后安培力的大小不变是解题的关键，最后掌握能量守恒定律的使用．