Question

9．如图所示，在边界ROP的上方有垂直于纸面向外的匀强磁场．平行板PQ和MN间有如图2所示的交变匀强电场，电场方向向上为正，板长为L，板间距离为d，PO与水平方向的夹角为θ=30°，一质量为m，带电荷量为+q的粒子从O点以初速度v垂直磁场方向射入磁场，经磁场偏转后恰好从PO边水平射出，并沿平行板间的中线O₁O₂在t=0的时刻进入电场，OR与MN在同一条直线上，不计粒子的重力．
（1）求匀强磁场的磁感应强度B．
（2）若粒子恰好能从上板右侧边缘Q点水平射出，则交变电场的电场强度大小E₀和周期T应满足什么条件？
（3）若粒子从O₁点射入电场的时刻为t=$\frac{1}{4}$T，要使粒子刚好从O₂点射出电场，则交变电场的电场强度大小E₀和周期T应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）画出轨迹，根据洛伦兹力提供向心力及几何关系列式求解．
（2）粒子射入电场从Q点水平射出，说明竖直方向的分速度为零，列出水平和竖直方向的运动学方程．
（3）从${O}_{2}^{\;}$点射出磁场，即竖直位移是0，根据运动学规律列出方程即可求解．

解答 解：（1）带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
画出粒子在磁场中的运动轨迹如图
由几何关系得：R=d
联立以上各式得：$B=\frac{mv}{qd}$
（2）粒子射入电场，垂直电场方向匀速直线运动：L=vt
粒子在电场中的加速度为：$a=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}$
在交变电场变化一个周期的时间内，沿电场方向先匀加速后匀减速，一个周期竖直方向末速度为0
在T时间内粒子在竖直方向运动的位移为：$y=2×\frac{1}{2}（\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}）（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}=\frac{q{E}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{4m}$
粒子运动时间为：t=nT
竖直方向总位移为：$ny=\frac{d}{2}$
联立以上各式得：${E}_{0}^{\;}=\frac{2mdv}{qTL}$
（3）从${O}_{1}^{\;}$点射入电场的时刻为$t=\frac{1}{4}T$，粒子刚好到${O}_{2}^{\;}$点，画出运动的速度图象，粒子在一个电场变化周期竖直位移为0，竖直向上运动的位移为：$y=2×\frac{1}{2}（\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}）（\frac{T}{4}）_{\;}^{2}≤\frac{d}{2}$
${E}_{0}^{\;}≤\frac{8md}{q{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）求匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{mv}{qd}$．
（2）若粒子恰好能从上板右侧边缘Q点水平射出，则交变电场的电场强度大小E₀和周期T应满足的条件是${E}_{0}^{\;}=\frac{2mdv}{qTL}$
（3）若粒子从O₁点射入电场的时刻为t=$\frac{1}{4}$T，要使粒子刚好从O₂点射出电场，则交变电场的电场强度大小E₀和周期T应满足的条件是${E}_{0}^{\;}≤\frac{8md}{q{T}_{\;}^{2}}$

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，分析受力情况，确定其运动情况，做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析，难度较大