Question

10．如图所示，间距为 L、足够长的金属导轨倾斜放在绝缘水平面上（金属导轨的电阻不计），导轨倾角为θ，两根长度均为L的金属杆P、Q垂直放在导轨上，已知 P、Q杆的质量均为 m、电阻均为R，金属杆 P 与导轨间动摩擦因数为 μ，金属杆 Q 光滑．磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于导轨所在平面向下，两根劲度系数均为 k 的相同绝缘轻弹簧，一端固定在导轨的下端，另一端连着金属杆 Q．开始时金属杆 Q 静止，在金属杆 P 的中点作用一平行于导轨向上的恒力，使金属杆 P 由静止开始运动，当金属杆P达到稳定时，弹簧的形变量大小与开始时相同，已知金属杆P开始运动到稳定时，P、Q间增大的距离为d，此过程可以认为Q杆缓慢地移动．求此过程中：
（1）通过金属杆 P 的电荷量；
（2）金属杆 Q 移动的距离；
（3）恒力对杆 P 所做的功．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电流的定义式求出通过金属杆P的电荷量．
（2）根据胡克定律，结合共点力平衡得出初始时刻弹簧的压缩量，抓住金属杆P稳定时，弹簧的形变量与开始相同，求出金属杆Q向上移动的距离．
（3）抓住P稳定时，对Q分析，根据平衡得出安培力的大小，从而对P根据平衡得出恒力F的大小，结合移动的距离求出恒力做功的大小．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律得，该过程中产生的平均感应电动势$\overline{E}=\frac{B△S}{△t}=\frac{BLd}{△t}$，①
平均感应电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}$，②
q=$\overline{I}△t$      ③，
联立①②③得，q=$\frac{BLd}{2R}$．
（2）设开始时弹簧的压缩量为△x，对Q有：
2F_弹=mgsinθ，④
根据胡克定律得，F_弹=k△x，⑤
由④⑤得，$△x=\frac{mgsinθ}{2k}$．
Q向上移动的距离x=2△x=$\frac{mgsinθ}{k}$．
（3）P杆稳定时，对Q有：F_安=mgsinθ+2F_弹=2mgsinθ，⑥
P杆稳定时，对P：F=F_安+mgsinθ+μmgcosθ，⑦
解得F=3mgsinθ+μmgcosθ，⑧
外力做功W=Fx′，⑨
由⑥⑦⑧⑨得，W=mg（3sinθ+μcosθ）（d+$\frac{mgsinθ}{k}$）．
答：（1）通过金属杆 P 的电荷量为$\frac{BLd}{2R}$；
（2）金属杆 Q 移动的距离为$\frac{mgsinθ}{k}$；
（3）恒力对杆 P 所做的功为mg（3sinθ+μcosθ）（d+$\frac{mgsinθ}{k}$）．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．