题目内容

19．如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子1在纸面内以速度v1=v0从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α=30°；质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度v2=$\sqrt{3}$v0也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β=60°角．已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计粒子的重力及粒子间的相互作用．
（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）求两粒子进入磁场的时间间△t；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动．求电场强度E的大小和方向．

分析 （1）作出两粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律求出半径，结合几何知识求出d；
（2）根据公式t=$\frac{θ}{2π}$T求运动时间；
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行，分为与粒子速度方向相同和相反两种情况进行讨论．

解答 解：（1）粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动：

根据牛顿第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子1圆周运动的圆心角θ1=$\frac{5π}{6}$，OA=2r1sinθ1             
粒子2圆周运动的圆心角θ2=$\frac{2π}{3}$，OB=2r2sinθ2 
故d=OA+OB=2r1sin30°+2r2sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（2）粒子圆周运动的周期为：T=$\frac{2πr}{v}$，
粒子1在匀强磁场中运动的时间为：t1=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T，
粒子2在匀强磁场中运动的时间为：t2=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T，
所以有：△t=t1-t2=$\frac{πm}{3qB}$；                                   
（3）由题意，电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行．
a．若电场强度的方向与MN成30°角斜向右上，则粒子1做匀加速直线运动，粒子2做类平抛运动．
由牛顿第二定律得：qE=ma，ABcos30°=v1t+$\frac{1}{2}$at2+$\frac{1}{2}$at2，ABsin30°=v2t，
解得：E=$\sqrt{3}$Bv0；
b．若电场强度的方向与MN成30°角斜向左下，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动．
由牛顿第二定律得：Eq=ma   ABcos30°=v1t-$\frac{1}{2}$at2-$\frac{1}{2}$at2  ABsin30°=v2t，解得：E=-$\sqrt{3}$Bv0，假设不成立．                         
综上所述，电场强度的大小E=$\sqrt{3}$Bv0，方向与MN成30°角斜向右上．  
答：（1）两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d为$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（2）两粒子进入磁场的时间间隔△t为$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动．电场强度E的大小E为$\sqrt{3}$Bv0，方向与MN成30°角斜向右上．

点评 本题是常见的带电粒子在磁场中和电场中运动的问题，画出轨迹，运用几何知识是处理带电粒子在磁场中运动问题的基本方法．

练习册系列答案
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B．T～2T时间内，外力做的功W=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$mv12
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