Question

7．如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=37°，总长度L=6m，传送带在电动机的带动下，始终保持v₀=2m/s速率运行，现把一质量为0.5kg的工件（可看作为质点）轻轻放在皮带的底端，工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）工件从底端运送到顶端的时间；
（2）工件在传送带上留下的痕迹多长？

Answer 1

分析 （1）分析工件的受力情况，物体受到重力、支持力、和沿斜面向上的摩擦力作用，合力沿斜面向上，物体加速运动，由牛顿第二定律求出加速度．由速度公式求出速度达到与传送带相同的时间．
（2）求出工件在传输带上滑动的时间，求出该时间内传送带与工件的位移，然后求出传送带上痕迹的长度．

解答 解：（1）刚开始物块相对传送带向下运动，受到沿斜面向上的滑动摩擦力，向上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有：
μmgcos37°-mgsin37°=ma₁
解得：${a}_{1}^{\;}=μgcos37°-gsin37°=2.4m/{s}_{\;}^{2}$
设经过时间t₁速度相等，有：${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{2}{2.4}=\frac{5}{6}s$
匀加速运动的位移为：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.4×（\frac{5}{6}）_{\;}^{2}=\frac{5}{6}m$
速度相等后，向上做匀速运动，有：${x}_{2}^{\;}=L-{x}_{1}^{\;}=6-\frac{5}{6}=\frac{31}{6}m$
匀速运动的时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{{x}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{31}{12}s$
总时间为：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{41}{12}m$
（2）在匀加速运动的过程中，有：${x}_{传}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}=2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}m$
工件相对于传送带的位移为：$△x={x}_{传}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=\frac{5}{6}m$
答：（1）工件从底端运送到顶端的时间为$\frac{41}{12}s$；
（2）工件在传送带上留下的痕迹为$\frac{5}{6}m$

点评 本题考查了牛顿第二定律与运动学公式的应用，根据摩擦力与重力分力的关系分析清楚工件的运动性质，分析清楚工件的运动过程是正确解题的前提与关键，也是本题的难点