Question

5．如图所示，ABCD竖直放置的光滑绝缘细管道，其中AB部分是半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形管道，BCD部分是固定的水平管道，两部分管道恰好相切于B．水平面内的M、N、B三点连线构成边长为L等边三角形，MN连线过C点且垂直于BCD．两个带等量异种电荷的点电荷分别固定在M、N两点，电荷量分别为+Q和-Q．现把质量为m、电荷量为+q的小球（小球直径略小于管道内径，小球可视为点电荷），由管道的A处静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g．则（　　）

• A． 小球运动到B处的电场力小于到C处时受到的电场力
• B． 小球在A处的电势能小于在C处时的电势能
• C． 小球运动到圆弧最低点B处时对管道的压力大小为N_B=3mg
• D． 小球运动到圆弧最低点B处时对管道的压力大小为N_B=$\sqrt{9{m}^{2}{g}^{2}+（k\frac{qQ}{{L}^{2}}）^{2}}$

Answer 1

分析 A、根据库仑定律，结合平行四边形定则求出小球运动到B处时受到的电场力大小．
B、小球在管道中运动时，小球受到的电场力和管道对它的弹力都不做功，只有重力对小球做功，从而即可求解．
CD、根据牛顿第二定律求出小球在B点竖直方向上的分力，结合库仑定律求出水平方向上的分力，从而根据平行四边形定则求出在B点受到的弹力大小．

解答 解：A、设小球在圆弧形管道最低点B处分别受到+Q和-Q的库仑力分别为F₁和F₂．则F₁=F₂=k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$ ①
小球沿水平方向受到的电场力为F₁和F₂的合力F，由平行四边形定则得F=2F₁cos60°   ②
联立①②得F=k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$；
同理，在C处，因间距的减小，导致受到的电场力增大，再依据矢量的合成法则，则有小球在B处的电场力小于到C处时受到的电场力，故A正确；
B、管道所在的竖直平面是+Q和-Q形成的合电场的一个等势面，小球在管道中运动时，小球受到的电场力和管道对它的弹力都不做功，电势能不变，故B错误；
CD、根据小球的机械能守恒，有mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-0     ④
解得v_C=$\sqrt{2gR}$ ⑤
设在B点管道对小球沿竖直方向的压力的分力为N_By，
在竖直方向对小球应用牛顿第二定律得N_By-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ⑥
v_B=v_C ⑦
联立⑤⑥⑦解得N_By=3mg⑧
设在B点管道对小球在水平方向的压力的分力为N_Bx，则N_Bx=F=k$\frac{Qq}{{L}^{2}}$ ⑨
圆弧形管道最低点B处对小球的压力大小为N_B=$\sqrt{{N}_{Bx}^{2}+{N}_{By}^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}{g}^{2}+（k\frac{qQ}{{L}^{2}}）^{2}}$．⑩
由牛顿第三定律可得小球对圆弧管道最低点B的压力大小为N′_B=N_B=$\sqrt{9{m}^{2}{g}^{2}+（k\frac{qQ}{{L}^{2}}）^{2}}$，故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 此题属于电场力与重力场的复合场，关键是根据机械能守恒和功能关系进行判断．要注意到电场力与重力、支持力不在同一条直线上．