Question

19．小船在宽度为200m、水流速度为2m/s的河中驶向对岸，已知小船在静水中的速度为4m/s，河岸是平行的．求：
（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在何时何处到达对岸？
（2）怎样渡河时间最短？
（3）怎样渡河位移最小？

Answer 1

分析 （1）将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据分运动和合运动具有等时性，求出小船的渡河时间．
（2）当小船船头始终正对岸时，渡河的时间最短．
（3）当合速度的大小与河岸垂直，小船即可到达正对岸，根据平行四边形定则求出合速度的大小，从而求出渡河的时间．

解答 解：（1）当小船船头始终正对岸时，即静水速垂直于河岸，则渡河时间为：
t=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$s=50s
那么船沿着水流的位移为：x=v_st=2×50=100m
（2）当小船船头始终正对岸时，即静水速垂直于河岸，则渡河时间为：
t=50s．
（3）当合速度的大小与河岸垂直，小船即可到达正对岸，合速度的大小为：
v=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$m/s=2$\sqrt{3}$m/s
则渡河时间为：t′=$\frac{d}{v}$=$\frac{200}{2\sqrt{3}}$s=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$s．
设船头偏向上游的夹角为θ，则有：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{1}{2}$
解得：θ=60°
答：（1）若小船的船头始终正指对岸航行时，它将在50s，离正对岸下游100m到达对岸；
（2）当小船船头始终正对岸时，渡河的时间最短．
（3）若要渡河位移最小，小船应偏向上游60°行驶，要用$\frac{100\sqrt{3}}{3}$s时间．

点评 解决本题的关键知道运动的合成和分解遵循平行四边形定则，以及知道当合速度的方向与河岸垂直，小船将垂直到达对岸．