Question

1．如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O₁O为中轴线．当两板间加电压U_MN=U₀时，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场．某种带负电的粒子从O₁点以速度v₀沿O₁O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计．
（1）求带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若M、N间加如图乙所示的交变电压，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，从t=0开始，前$\frac{T}{3}$内U_MN=2U，后$\frac{2T}{3}$内U_MN=-U，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持续射入电场，最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值．
（3）若M、N间加如图乙所示的交变电压，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持续射入电场，最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求所有粒子在运动中偏离中轴线最小位移与最大位移比值的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解规律可求得比荷；
（2）由题意可知粒子在电场中的运动过程，根据电场的周期性变化规律可明确粒子在电场中的运动规律，根据条件则可求得电压值．
（3）在所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）时刻进入电场的粒子恰好从中轴线飞出．它们在运动过程中电场方向偏转的距离最小．在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上、下边缘处飞出．它们在运动过程中电场方向偏转的距离最大．

解答 解：（1）设粒子经过时间t₀打在M板中点，沿极板方向有：$\frac{L}{2}$=v₀t₀
垂直极板方向有：$\frac{d}{2}$=$\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{4{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$．
（2）粒子通过两板时间 t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=T，从t=0时刻开始，粒子在两板间运动时，每个电压变化周期的前三分之一时间内方向垂直极板的加速度大小为：a₁=$\frac{2qU}{md}$
（或在每个电压变化周期的后三分之二时间内方向垂直极板的加速度大小为：a₂=$\frac{qU}{md}$）
所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上、下边缘处飞出．它们在电场方向偏转的距离最大，则：$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T   
可解得：U=$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）在所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）时刻进入电场的粒子恰好从中轴线飞出．它们在运动过程中电场方向偏转的距离最小，则偏离中轴线最小位移为：y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{6}$）$\frac{T}{2}$ 
可以确定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上、下边缘处飞出．它们在运动过程中电场方向偏转的距离最大，则偏离中轴线最大位移为：Y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T
所以粒子在运动中偏离中轴线最小位移与最大位移比值的大小为：$\frac{y}{Y}$=$\frac{1}{4}$．
答：（1）带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{4{d}^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$；
（2）U为$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）粒子在运动中偏离中轴线最小位移与最大位移比值的大小是$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动，关键要正确分析带电粒子的运动情况，要掌握电场中类平抛运动的研究方法：运动的合成与分解法，运用动力学规律解答．