Question

4．（1）如图所示，的一端滑块与长木板静放在水平面上，已知它们间的摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，现将板缓慢抬高，试问板与水平面间夹角φ在多大范围内变化，可使木块与板始终保持相对静止？
（2）现将木板倾斜角调整为$\frac{π}{9}$（rad），滑块以3m/s的初速度沿木板向上运动，求滑块在木板上运动的平均速度$\overline{v}$（g=10m/s²）
（3）调整木板倾斜角φ，可改变滑块沿木板向上滑动的运动位移和时间，当同样的滑块仍以3m/s的初速度冲上木板，求滑块在向上滑行阶段中出现最短运动时间所需的倾角大小及最短时间t_min值．（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）滑块的重力沿斜面向下的分力小于等于最大静摩擦力时木块与板始终保持相对静止，由此列式求解．
（2）由木板的倾角可判断出滑块冲上木板后最终静止在板上，做向上做匀减速运动，由公式$\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$求解．
（3）根据能量守恒定律列式，得到滑块上滑的位移与木板倾角的关系式，由数学知识求出最短位移，再求对应的时间．

解答 解：（1）滑块与木板相对静止时应满足：
  mgsinφ≤F_max=μmgcosφ
得 0≤tanφ≤μ             
将μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得 0≤φ≤$\frac{π}{6}$　　　　　　　　　
（2）由于μ=tan$\frac{π}{6}$≥tan$\frac{π}{9}$
或 mgsinθ≤μmgcosθ
所以滑块冲上木板后最终静止在板上　
  $\overline{v}$=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$=$\frac{3+0}{2}$=1.5m/s　　
（3）由能量守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgsinθ•x+μmgcosθ•x
得 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ{\;}_{0}）}$
当 θ=$\frac{π}{2}$-φ₀=$\frac{π}{3}$时，x最短，x的最小值为 x_min=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$
滑块最终停留在板上
则最短时间 t_min=$\frac{{x}_{min}^{\;}}{\overline{v}}$=$\frac{{v}_{0}}{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{20}$s≈0.26s
答：
（1）板与水平面间夹角φ在0≤φ≤$\frac{π}{6}$的范围内变化，可使木块与板始终保持相对静止．
（2）滑块在木板上运动的平均速度$\overline{v}$是1.5m/s．
（3）滑块在向上滑行阶段中出现最短运动时间所需的倾角大小是$\frac{π}{3}$，最短时间t_min值是0.26s．

点评 本题要掌握物体不滑动的条件：使物体产生运动趋势的外力不大于最大静摩擦力．知道涉及力在空间的效应时优先考虑动能定理，会运用函数法求解极值．