Question

16．在倾角为θ的平直斜面坡的下端，与光滑斜面成α角向斜坡上方抛出一弹性小球，抛出速度为v₀．
（1）求小球沿斜坡的射程．
（2）设球与光滑斜面的碰撞是弹性的，即碰撞后小球将以同样大的垂直于斜面的分速度反跳，而与斜面平行的速度分量不变，试证明小球与斜面碰撞一次后能沿相同的轨迹返回出发点的条件是2tanθtanα=1．

Answer 1

分析 （1）将小球的速度与受力沿斜面的方向分解，写出沿斜面方向和垂直于斜面方向的分速度，结合牛顿第二定律求出沿斜面方向与垂直于斜面方向的分加速度，最后结合运动学的公式即可求出；
（2）小球下落时将与斜面做弹性碰撞．且小球返跳回出发点A，说明小球与斜面碰撞时，小球受到的方向与斜面垂直，只有这样，小球的运动才具有对称性，才能满足题目的要求．可将运动过程分解成垂直斜面和平行于斜面的两个运动．垂直于斜面的运动可看作受力mgcosθ的两次类竖直上抛运动，代入相应的公式即可求得结果．

解答 解：（1）沿斜面向上和垂直于斜面向上建立坐标系，将小球的速度和受到的重力分解如图：

则沿斜面的方向：v_x=v₀cosα，${a}_{x}=-\frac{{G}_{x}}{m}=-gsinθ$①
沿垂直于斜面的方向：v_y=v₀sinα，a_y=gcosθ     ②
当小球落在斜面上时，竖直方向的分速度变成垂直于斜面向下，所以运动的时间：${t}_{0}=\frac{2{v}_{y}}{{a}_{y}}=\frac{2{v}_{0}sinα}{gcosθ}$  ③
所以小球沿斜面方向的位移：$x={v}_{x}•{t}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{x}•{t}_{0}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}sin2α}{gcosθ}-\frac{2{v}_{0}^{2}si{n}^{2}αsinθ}{gco{s}^{2}θ}$
（2）若球与光滑斜面的碰撞是弹性的，即碰撞后小球将以同样大的垂直于斜面的分速度反跳，将运动过程分解成垂直斜面和平行于斜面的两个运动．
由题意，到达斜面的顶端时，沿斜面方向的初速度：v_x0=v₀cosα，末速度：v_x=0．沿斜面方向的加速度：a_x=-gsinθ，
所以运动的时间：$t=\frac{△{v}_{x}}{gsinθ}=\frac{{v}_{0}cosα}{gsinθ}$…④
垂直于斜面的方向：v_y0=v₀sinα，加速度：a_y=gcosθ，所以运动的时间：$t=\frac{2{v}_{y0}}{{a}_{y}}=\frac{2{v}_{0}sinα}{gcosθ}$…⑤
联立④⑤解得：2tanθtanφ=1
答：（1）小球沿斜坡的射程是$\frac{{v}_{0}^{2}sin2α}{gcosθ}-\frac{2{v}_{0}^{2}si{n}^{2}αsinθ}{gco{s}^{2}θ}$．
（2）证明见上．

点评 该题是一道竞赛题目，解题的关键是要抓住小球与斜面碰撞时，小球受到的方向与斜面垂直，才能解答．
另外，该题也可以使用位移时间关系求解，结果相同．