Question

4．空间交会对接是指两个航天器在空间轨道上会合并在结构上连成一个整体的技术，我国已在2013年6月成功实现目标飞行器“神舟十号”与轨道空间站“天宫一号”的对接．如图所示，已知“神舟十号”与“天宫一号”从开始连接到成功实现对接用时t，这段时间内二者构成的组合体绕地球转过的角度为θ（弧度），此过程中可认为组合体的轨道半径不变，保持绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力恒量G，不考虑地球自转；求：
（1）地球质量M；
（2）组合体所在圆轨道离地高度h．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面物体的重力等于万有引力求地球质量；
（2）求出组合体绕地球转动的角速度，根据万有引力提供向心力求出组合体所在圆轨道半径r，即可求出组合体所在圆轨道高度h=r-R

解答 解：（1）地球表面物体的重力等于万有引力，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
可以得出：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（2）组合体绕地球转动的角速度：θ=ωt     所以$ω=\frac{θ}{t}$
由万有引力提供向心力可知：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=mr{ω}_{\;}^{2}$
可知组合体所在圆轨道半径：$r=（\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}=（\frac{GM{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}=（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}$
组合体所在圆轨道高度：$h=（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}-R$
答：（1）地球质量M为$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（2）组合体所在圆轨道离地高度h为$（\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}）_{\;}^{\frac{1}{3}}$-R

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$和在地球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$这两个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．