Question

18．如图所示，α星和β星组成的双星系统的“晃动”周期为T（实际是环绕运动，不过人们往往只能看到它们在晃动），α星的晃动范围为D_α，β星的晃动范围为D_β，试求α星和β星的质量．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：由图知α星的轨道半径${r}_{α}^{\;}=\frac{{D}_{α}^{\;}}{2}$；β星的轨道半径${r}_{β}^{\;}=\frac{{D}_{β}^{\;}}{2}$，α星和β星之间的距离为$L={r}_{α}^{\;}+{r}_{β}^{\;}=\frac{{D}_{α}^{\;}+{D}_{β}^{\;}}{2}$
根据万有引力提供向心力$G\frac{{m}_{α}^{\;}{m}_{β}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{α}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{α}^{\;}={m}_{β}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{β}^{\;}$
解得：${m}_{α}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{β}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}{L}_{\;}^{2}$=$\frac{{π}_{\;}^{2}{D}_{β}^{\;}（{D}_{α}^{\;}+{D}_{β}^{\;}）_{\;}^{2}}{2G{T}_{\;}^{2}}$
${m}_{β}^{\;}=\frac{{π}_{\;}^{2}{D}_{α}^{\;}（{D}_{α}^{\;}+{D}_{β}^{\;}）_{\;}^{2}}{2G{T}_{\;}^{2}}$
答：α星的质量为$\frac{{π}_{\;}^{2}{D}_{β}^{\;}（{D}_{α}^{\;}+{D}_{β}^{\;}）_{\;}^{2}}{2G{T}_{\;}^{2}}$，β星的质量为$\frac{{π}_{\;}^{2}{D}_{α}^{\;}（{D}_{α}^{\;}+{D}_{β}^{\;}）_{\;}^{2}}{2G{T}_{\;}^{2}}$

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．