Question

11．已知一个可视为球体的天体，其自转周期为T，在它的赤道上，用弹簧秤测某一物体的重力是在它两极处测得的重力的0.8倍，已知万有引力常量为G．求该天体的平均密度ρ是多少？

Answer 1

分析 两极处的万有引力等于物体的重力，赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差．结合表达式整理可得此星球的密度．

解答 解：设物块的质量为m，星球的质量为M，半径为R，
在两极处：万有引力等于物体的重力，则有
 $F=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
在赤道处：赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差，则有
 0.8F=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
联立以上两式得：M=$\frac{20{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
则此星球的密度ρ=$\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{2}}=\frac{15π}{G{T}^{2}}$
答：该星体的平均密度ρ是$\frac{15π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题要知道两极和赤道处万有引力与重力的关系，中等难度．