Question

10．如图所示，垂直x轴放置一长度为2R的电子源MN，可释放质量为m、电荷量为q、初速度为零的电子，忽略电子之间的相互作用．MN右侧的三角形区域Ⅰ内存在水平向左的匀强电场．半径为R的圆形区域Ⅱ内存在竖直向上的匀强电场，坐标轴y过圆形区域的圆心，坐标轴x与该区域相切．两个区域内的电场强度大小均为E．第四象限内的POQ区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，已知PO=OQ=2R．
（1）设Ⅰ区域的顶角θ，若有一个电子经过Ⅰ、Ⅱ电场后刚好从O点进入磁场，速度方向与x轴正向成45°角，求该电子在MN上的出发点的纵坐标y；
（2）若（1）问的电子进入磁场时的速度为v₀，且能够再次经过x轴，求匀强磁场的磁感应强度B满足的条件；
（3）若要使MN上释放的所有能够进入区域Ⅱ的电子均能在该区域中能获得最大动能增量，求区域Ⅰ顶角θ的正切值．

Answer 1

分析 （1）由于电子进入Ⅱ区域做类平抛运动的末速度与x轴成45°，则速度的x、y分量相等，从而在两电场中加速的x、y分量的末速度相等，由运动学公式就能求出从MN上出发的纵坐标．
（2）考虑临界状态，当以v₀  的末速度进入磁场时，从三角形磁场区域内离开时速度方向平行于x轴，则大于此状态的磁感应强度使粒子偏转的半径小，能与x轴相交．
（3）可以证明，要使所有飞入圆形电场区域的电子获得最大动能，则要求所有电子均从O点飞出区域Ⅱ，由类平抛运动规律及两个区域内的几何关系就能求出区域Ⅰ顶角θ的正切值

解答 解：（1）在两个电场区域中均有：qE=ma  
  在区域Ⅰ中△x=（2R-y）tanθ    
  ${{v}_{x}}^{2}=2a△x$ 
  在区域Ⅱ中 由题意有：
  v_y²=2ay
  v_y=v_x  
  所以有：y=△x 
  即  $y=\frac{2Rtanθ}{1+tanθ}$
（2）设粒子离开磁场时速度恰与x轴平行，分析如图所示，
  由几何关系可知：r=2R
  ${q{v}_{0}B}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
  得：${B}_{0}=\frac{{mv}_{0}}{qr}=\frac{m{v}_{0}}{2qR}$
  即电子能够再次经过x轴的条件是：$B＞\frac{m{v}_{0}}{2qR}$
（3）可知电子均从O点飞区域Ⅱ
  在区域Ⅱ中：
  ${v}_{0}{t}_{0}=\sqrt{{R}^{2}-（y-R）^{2}}$
  $\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}=y$
  在区域Ⅰ中，设加速距离为d₀  
  $qE{d}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
  又因为：d₀=（2R-y）tanθ
  解得：tanθ=$\frac{1}{4}$
答：（1）设Ⅰ区域的顶角θ，若有一个电子经过Ⅰ、Ⅱ电场后刚好从O点进入磁场，速度方向与x轴正向成45°角，求该电子在MN上的出发点的纵坐标y为$\frac{2Rtanθ}{1+tanθ}$．
（2）若（1）问的电子进入磁场时的速度为v₀，且能够再次经过x轴，匀强磁场的磁感应强度B满足的条件是$B＞\frac{m{v}_{0}}{2qR}$．
（3）若要使MN上释放的所有能够进入区域Ⅱ的电子均能在该区域中能获得最大动能增量，区域Ⅰ顶角θ的正切值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题的靓点在于：①电场区域是圆形的，第三问要求在该区域内获得最大动能，则要求电场力做功最多，即逆着电场线运动的距离最远，显然只有从O点射出的电子才符合条件．②电子在两个区域内的位移有相互关系，区域Ⅱ的竖直位移即电子从区域Ⅰ出发的纵坐标，可以用tgθ  及加速距离表示出来．