Question

6．如图，水平直线轨道OB与竖直的四分之一光滑圆弧轨道AB相切于B点，O为圆心，半径R=1m，A点与O点等高，劲度系数k=10³N/m的轻弹簧一端固定在D点挡板处，另一端为自由端在C点．BC=0.9m，将质量m=1kg的小物块从A点静止释放，观察到物块反弹回来后刚好到达B点．已知物块水平轨道的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s²．

（1）求出弹簧的最大压缩量及物块在水平轨道上运动过程中的最大加速度数值a；
（2）若将DC段换成光滑的水平轨道，物块从A点释放后，求弹簧被压缩的最大弹性势能E_p及物块第一次返回圆弧轨道上B点时轨道对物块支持力大小F_N；
（3）若将DC段换成光滑的水平轨道，物块从A点正上方h=5m高处释放落下，并从A点切入轨道，求物块最终的静止位置离C点的距离．

Answer 1

分析 （1）对全程，运用功能关系列式，可求得物块相对B向左滑动的距离s，即可得到弹簧的最大压缩量．当弹簧的压缩量最大，物块的加速度最大，由牛顿第二定律求及物块在水平轨道上运动过程中的最大加速度数值a；
（2）若将DC段换成光滑的水平轨道，物块从A点释放后，根据系统的机械能守恒求弹簧被压缩的最大弹性势能E_p．求出物块第一次返回圆弧轨道上B点时的速度，由牛顿第二定律求轨道对物块支持力大小F_N；
（3）若将DC段换成光滑的水平轨道，物块从A点正上方h=5m高处释放落下，对整个过程，运用功能关系列式，可求得物块最终的静止位置离C点的距离．

解答 解：（1）设物块相对B点向左滑动的最大距离为s，全程由功能关系得：
-2μmgs=0-mgR
解得：s=1m
弹簧的最大压缩量为：△x=s-$\overline{BC}$=1-0.9=0.1m
向左滑行刚要速度减为零时加速度最大，设为a，根据牛顿第二定律得：
k△x+μmg=ma
解得：a=105m/s²．
（2）由功能关系得：
-μmg$\overline{BC}$=E_p-mgR
解得，弹簧被压缩的最大弹性势能为：E_p=5.5J
返回B点的速度为v_B．由动能定理得：
mgR-2μmg$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B点，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=12N
（3）设物块在BC段总路程为x，对整个过程，运用动能定理得：
mg（h+R）-μmgx=0
解得：x=12m=13×0.9m+0.3m
所以物块最终位置在C右侧距C点0.3m处
答：（1）弹簧的最大压缩量是0.1m，物块在水平轨道上运动过程中的最大加速度数值a是105m/s²；
（2）弹簧被压缩的最大弹性势能E_p是5.5J，物块第一次返回圆弧轨道上B点时轨道对物块支持力大小F_N是12N；
（3）物块最终位置在C右侧距C点0.3m处．

点评 本题涉及力在空间的效果，要优先功能关系或动能定理，要知道滑动摩擦力做功与总路程有关，要正确分析能量的转化情况．