Question

6．如图所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直管AB．细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定．解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管A端，再沿管ABC从C端水平射出．已知弯管BC的半径R=0.40m，小球的质量为m=0.1kg，当调节竖直细管AB的长度L至L₀=0.80m时，发现小球恰好能过管口C端．不计小球运动过程中的机械能损失．
（1）求每次弹射时弹簧对小球所做的功W；
（2）当L取多大时，小球落至水平面的位置离直管AB最远？并求出其最大值x_m．
（3）改变小球质量为m时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F_N也相应变化．已知AB长度为L₀=0.80m的情况，求F_N随质量m的变化关系．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能过管口C端，可知小球在C点的临界速度为0，根据动能定理求得小球弹射时弹簧对小球做的功；
（2）小球离开C点做平抛运动，根据小球射程公式求出小球射程与L的关系，由数学关系式求射程最大时对应L的数值；
（3）小球通过C时临界速度为$\sqrt{gR}$时，小球对管道壁没有作用力，大于临界速度时对上管壁有压力，小球临界速度时对下管壁有压力，根据动能定理求出经过C点的速度，根据牛顿第二定律求出管壁对球的作用力与质量m的关系．

解答 解：（1）小球恰好能到达管口C时，v_C=0
研究小球从静止开始运动到C点的过程，只有重力和弹簧对小球做功，根据动能定理有：
W_弹-mg（L₀+R）=0
所以弹簧对小球做的功为：
W_弹=mg（L₀+R）=0.1×10×（0.8+0.4）J=1.2J
（2）当AB段长度为任意值L时，根据动能定理有：
W_弹-mg（L+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
可得：v_C=$\sqrt{2g（{L}_{0}-L）}$
小球离开C点做平抛运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2（L+R）}{g}}$
水平射程为：x=v_Ct=2$\sqrt{（{L}_{0}-L）（L+R）}$
显然，当L₀-L=L+R时，平抛射程有最大值，对应的竖直细管AB的长度为：
L=$\frac{{L}_{0}-R}{2}$=$\frac{0.80-0.40}{2}$m=0.2m
此时小球落至水平面的位置离直管AB的距离为最大，为：
x_m=2$\sqrt{（{L}_{0}-L）（L+R）}$=2×$\sqrt{（0.8-0.2）×（0.2+0.4）}$=1.2m；
（3）取任意小球质量，显然当m＞0.1kg时，小球到达不了C点，现讨论当 m＜0.1kg的情形：
由动能定理得：W_弹-mg（L₀+R）=$\frac{1}{2}mv{′}_{C}^{2}$-0
经过C点时，由牛顿第二定律有：mg-F_N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
联立两式，并代入W_弹，得：F_N=70m-6，
其中 m＜0.1kg
答：（1）每次弹射时弹簧对小球所做的功W是1.2J；
（2）当L取0.2m时，小球落至水平面的位置离直管AB最远，其最大值x_m是1.2m．
（3）F_N随质量m的变化关系是F_N=70m-6，其中 m＜0.1kg．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，掌握小球能过最高点的临界条件，注意掌握过最高点时的绳球模型和杆球模型临界条件的不同．