Question

5．一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，假设该行星是密度均匀的球体，要求出该行星的密度，只需要测量（　　）

• A． 卫星的轨道半径
• B． 卫星的运行速度
• C． 卫星的运行周期
• D． 卫星的质量

Answer 1

分析 卫星在行星表面做匀速圆周运动，这是一个近地卫星，轨道半径等于行星的半径，根据万有引力等于向心力表达出行星质量，再根据$ρ=\frac{M}{V}$，化简后进行判断

解答 解：因为卫星在行星表面附近做匀速圆周运动，轨道半径近似等于行星半径，根据万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{{v}_{\;}^{2}R}{G}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
行星的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
可知仅知卫星的轨道半径或卫星的运行速度，无法求行星的密度；卫星的质量被约掉，所以ABD均错误；只有测出周期才能求出行星的密度，故C正确
故选：C

点评 本题可归结为一个结论：环绕行星表面做圆周运动的卫星，其公转周期平方与行星平均密度的乘积是一个定则，即$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$