Question

13．如图所示，第二象限的某个矩形区域内，有方向垂直于纸面向里磁感应强度为B₁的匀强磁场，该磁场的下边界与x轴重合；第三象限内有互相正交的匀强电场和匀强磁场，两者场强分别E₁=500V/m和B₂=0.5T；第四象限有一电场强度E=2000$\sqrt{3}$V/m的匀强电场，方向与x轴负方向成60⁰指向y轴负方向．一质量m=1×l0^-14kg、电荷量q=1×10^-10C的带正电的粒子以某一速度v从y轴上的N点沿与y轴负方向成60°角方向射入第二象限，后经P点进入第三象限内并沿直线运动，经过一段时间后，粒子经y轴上的M点与y轴负方向成60°角的方向进入第四象限，M点坐标（0，-0.1m），N点坐标（0，0.3m），粒子重力忽略不计．求：
（1）第二象限中矩形磁场的磁感强度B的大小；
（2）第二象限中矩形磁场区域的最小面积：
（3）若在该粒子经M点进入第四象限的同时，在适当的位置由静止释放另一与该粒子完全相同的带电粒子，可使两粒子在离开第四象限前相遇．求所有满足条件的释放点的集合（不计两粒子之间的相互作用力）．

Answer 1

分析 （1）由带电粒子在第三象限做直线运动可知，电场力等于洛伦兹力，据此求出速度，由几何关系求出做圆周运动的半径，再根据洛伦兹力提供向心力即可求解；
（2）画出矩形ACPQ及第二象限中圆周运动从Q到P的轨迹，根据图中几何关系即可求解；
（3）带电粒子从M进入第四象限后做类平抛运动，根据平抛运动基本公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）由带电粒子在第三象限做直线运动可知，E₁q=B₂qv
解得：v=$\frac{{E}_{1}}{{B}_{2}}=1000m/s$，
带电粒子在第二象限中，由几何关系可知，做圆周运动的半径：R=$\frac{\sqrt{3}}{15}m$，
根据洛伦兹力提供向心力得：${B}_{1}qv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：${B}_{1}=\frac{mv}{Rq}=\frac{\sqrt{3}}{2}T$
（2）画出矩形ACPQ及第二象限中圆周运动从Q到P的轨迹，
根据图中几何关系可知，PQ=0.2m，
CP=$\frac{1}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{30}m$
矩形的最小面积${S}_{min}=\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$
（3）如图中，带电粒子从M进入第四象限后做类平抛运动，则有：
x′=vt，$y′=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{{E}_{1}q}{m}$
带电粒子再次达到y轴时有几何关系：tan60°=$\frac{y′}{x′}=\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}=\frac{at}{2v}$
解之得：t=1×10^-4s
则x′=vt=0.1m
在x轴上的投影x=$x′sin60°=\frac{\sqrt{3}}{20}m$
所有满足条件的释放点的集合：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{10}m$（0$≤x≤\frac{\sqrt{3}}{20}m$）
答：（1）第二象限中矩形磁场的磁感强度B的大小为$\frac{\sqrt{3}}{2}T$；
（2）第二象限中矩形磁场区域的最小面积为$\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$；
（3）所有满足条件的释放点的集合为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{10}m$（0$≤x≤\frac{\sqrt{3}}{20}m$）．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．