题目内容

13．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直．设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r．现有一质量为 m2的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹后做平抛运动落到下层面上的C点．C点与杆A1初始位置的水平距离为S．求：
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）当杆A2与杆A1的速度比为1：3时，A2受到的安培力大小；
（3）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量．

分析 （1）根据平抛运动规律、动量守恒定律和闭合电路的欧姆定律求解电流最大值；
（2）金属杆A1、A2两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总电动势是这两个电动势之差，即E=BL（v1-v2），根据闭合电路的欧姆定律求解感应电流，根据安培力计算公式计算安培力大小；
（3）根据能量守恒定律和动量守恒定律联立求解产生的热量．

解答 解：（1）设撞击后小球反弹的速度为v1，金属杆A1的速度为v01，根据动量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv0=$\frac{1}{2}$m（-v1）+mv01，①
根据平抛运动的分解，有：
水平方向：s=v1t，
竖直方向：H=$\frac{1}{2}$gt2
解得v1=s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$     ②
②代入①得v01=$\frac{1}{2}$（v0+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）      ③
回路内感应电动势的最大值为Em=BLv01，电阻为R=2Lr，
所以回路内感应电流的最大值为Im=$\frac{B（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}{4r}$．        
（2）设金属杆A1、A2速度大小分别为v1、v2，根据动量守恒定律可得：mv01=mv1+mv2，
又$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{1}$，所以v1=$\frac{3}{4}$v01，v2=$\frac{1}{4}$v01．
金属杆A1、A2速度方向都向右，根据右手定则判断A1、A2产生的感应电动势在回路中方向相反，
所以感应电动势为E=BL（v1-v2），
根据闭合电路的欧姆定律可得电流为I=$\frac{E}{2Lr}$，
安培力为F=BIL，
所以A2受到的安培力大小为F=$\frac{{B}^{2}L}{8r}（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．
当然A1受到的安培力大小也如此，只不过方向相反．
（3）因为在安培力的作用下，金属杆A1做减速运动，金属杆A2做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，
根据能量守恒定律可得，$\frac{1}{2}$mv012=Q+$\frac{1}{2}$•2mv2   
其中v是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，
mv01=2mv，所以v=$\frac{1}{2}$v01，
解得：Q=$\frac{1}{16}$m（v0+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）2．
答：（1）回路内感应电流的最大值为$\frac{B（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}{4r}$；
（2）当杆A2与杆A1的速度比为1：3时，A2受到的安培力大小为$\frac{{B}^{2}L}{8r}（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$；
（3）整个运动过程中感应电流最多产生的热量为$\frac{1}{16}$m（v0+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）2．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．

练习册系列答案
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D．滑块和弹簧组成的系统机械能增加了20 J
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