Question

12．在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，L为2.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.03，开始时物块静止，凹槽以v₀=6m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计．g取10m/s²，求：
（1）物块与凹槽相对静止的速度？
（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与左侧槽壁碰撞的次数？
（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间？

Answer 1

分析 （1）碰撞过程中物块与槽组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律列式即可求解；
（2）整个过程，对整体根据动能定理列式即可求出物块与凹槽间的相对路程，再由几何关系求物块与左侧槽壁碰撞的次数．
（3）设凹槽与物块碰前的速度分别为v₁、v₂，碰后的速度分别为v₁′、v₂′．根据动量守恒定律及能量守恒定律列式可知，每碰撞一次凹槽与物块发生一次速度交换，在同一坐标系上两者的速度图线，根据碰撞次数可分为13段，凹槽、物块的v-t图象在两条连续的匀变速运动图线间转换，可用匀变速直线运动规律求时间．

解答 解：（1）设两者相对静止时速度为v．取向右为正方向，由动量守恒定律得：
  mv₀=2mv
解得 v=3m/s
（2）设两者间相对静止前，相对运动的路程为S，由动能定理得：
-μmgS=$\frac{1}{2}$（m+m）v²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：S=30m
已知 L=2.0m
可推知物块与左侧槽壁碰撞 n=$\frac{S-\frac{L}{2}}{2L}$+1=$\frac{30-1}{4}$+1=8.25
故碰撞8次                                              
（3）设凹槽与物块碰前的速度分别为v₁、v₂，碰后的速度分别为v₁′、v₂′．根据动量守恒定律和能量守恒定律有
    mv₁+mv₂=mv₁′+mv₂′
    $\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁′²+$\frac{1}{2}$mv₂′²
解得  v₁′=v₂，v₂′=v₁
易知每次碰撞都速度交换                              
在同一坐标系上两者的速度图线如图所示，

凹槽、物块的v-t图象在两条连续的匀变速运动图线间转换，故可用匀变速直线运动规律求时间．
则 v=v₀+at，a=-μg
解得：t=10s
答：
（1）物块与凹槽相对静止的速度是3m/s．
（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与左侧槽壁碰撞的次数是8次．
（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间是10s．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、动能定理及能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，能根据题意画出速度-时间图象，知道摩擦生热与两个物体间的相对路程有关．