题目内容
如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v的带正电粒子，v与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，求v的大小范围；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是多少？与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v的大小范围是多少？
【答案】分析：（1）根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，结合几何关系可确定半径的范围，即可求解；
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．
解答：
解：（1）如答图所示，当粒子的速度大于与R1相对应的速度v1时，粒子将从dc边射出．
由几何关系可得：R1=L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：
②
当粒子的速度小于与R2相对应的速度v2时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：
③
由③式解得：
④
由洛仑兹力和向心力公式可得：
⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得：
⑥
所以v的取值范围是
⑦
（2）粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v2时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是
，所以粒子在磁场中的运动时间也是
，此即粒子在磁场中运动的最长时间
由向心力和洛仑兹力公式可得：
⑧
所以粒子运动的最长时间为：
⑨
与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v的大小范围是：
答：（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，则v的大小范围是
；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是：
；与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v的大小范围是：
．
点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹．
（2）根据题意确定运动轨迹，再由圆心角与周期公式，即可确定最长运动的时间；根据半径公式与半径的取值，即可求解．
解答：
解：（1）如答图所示，当粒子的速度大于与R1相对应的速度v1时，粒子将从dc边射出．由几何关系可得：R1=L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得：
②当粒子的速度小于与R2相对应的速度v2时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得：
③由③式解得：
④由洛仑兹力和向心力公式可得：
⑤将①④式分别代入②⑤式可解得：
⑥所以v的取值范围是
⑦（2）粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v2时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是
，所以粒子在磁场中的运动时间也是，此即粒子在磁场中运动的最长时间由向心力和洛仑兹力公式可得：
⑧所以粒子运动的最长时间为：
⑨与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v的大小范围是：
答：（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，则v的大小范围是
；（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是：
；与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v的大小范围是：．点评：考查牛顿第二定律的应用，掌握几何关系在题中的运用，理解在磁场中运动时间与圆心角的关系．注意本题关键是画出正确的运动轨迹．
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