Question

4．如图所示，光滑杆O′A的O′端固定一根劲度系数为k=10N/m，原长为l₀=1m的轻弹簧，质量为m=1kg的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接，OO′为过O点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ=30°，开始杆是静止的，当杆以OO′为轴转动时，角速度从零开始缓慢增加，直至弹簧伸长量为0.5m，下列说法正确的是（　　）

• A． 杆保持静止状态，弹簧的长度为0.5m
• B． 当弹簧恢复原长时，杆转动的角速度为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$rad/s
• C． 当弹簧伸长量为0.5m时，杆转动的角速度为$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$rad/s
• D． 在此过程中，杆对小球做功为15J

Answer 1

分析 当杆静止时，小球受力平衡，根据力的平衡条件可求压缩量，从而求弹簧的长度；
对小球分析，抓住竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，列式联立求出匀速转动的角速度；
结合最高点的动能，运用动能定理求出杆对小球做功的大小．

解答 解：A、当杆静止时，小球受力平衡，根据力的平衡条件可得：mgsin30°=kx，代入数据解得：x=0.5m，所以弹簧的长度为：l₁=l₀-x=0.5m，故A正确；
B、当弹簧恢复原长时，由牛顿第二定律可得：mgtan30°=mω₁²l₀cos30°，解得：ω₁=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$ rad/s，故B错误；
C、当弹簧伸长量为0.5m时，小球受力如图示：

水平方向上：F₂cos30°+Nsin30°=mω₂²（l₀+x）cos30°
竖直方向上：Ncos30°=mg+F₂sin30°
弹簧的弹力为：F₂=kx
联立解得：ω₂=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$rad/s，故C正确；
D、在此过程中，由动能定理可得：W-mg•2xsin30°=$\frac{1}{2}$m[ω₂（l₀+x）cos30°]²-0，解得：W=12.5J，故D错误．
故选：AC．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，知道小球做匀速转动时，靠径向的合力提供向心力，并结合竖直方向上的合力为零，联立求解．