Question

16．如图甲所示，在某空间区域内存在随时闻周期性变化的匀强电场和匀强磁场，变化规律分别如图乙、丙所示，电场方向沿x轴正方向，取垂直纸面向里为磁感应强度的正方向．在t=0时刻由原点O发射初速受大小为v₀．方向沿x轴正方向的带正电粒子（不计重力）．其中已知v₀、t₀、B₀，且E=$\frac{{B}_{0}{v}_{0}}{2π}$，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{{B}_{0}{t}_{0}}$，y轴上有一点A，坐标为（0，-$\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．求：

（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$时带电粒子的位置坐标．
（2）粒子运动过程中偏离y轴的最大距离．
（3）粒子经多长时间经过A点．

Answer 1

分析 （1）0-t₀时间内做匀速圆周运动，粒子在磁场中运动的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀，在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$内转过的圆心角α=$\frac{π}{2}$，根据牛顿第二定律求解$\frac{{t}_{0}}{2}$时带电粒子的位置坐标．
（2）作出粒子的运动轨迹．根据电子在电场中做匀变速直线运动，由速度公式和位移公式结合求解粒子运动过程中偏离y轴的最大距离．
（3）每个4t₀内粒子在y轴负方向移动距离 d=2r₁+2r₂，再由运动学公式求解时间．

解答 解：（1）粒子在磁场中运动的周期T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀
则在0～$\frac{{t}_{0}}{2}$内转过的圆心角α=$\frac{π}{2}$
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
得r₁=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
$\frac{{t}_{0}}{2}$时粒子的位置坐标为（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）
（2）粒子运动轨迹如图所示，经电场减速后的速度为v，则
 v=v₀-$\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{0}$=$\frac{{v}_{0}}{2}$
运动的位移 s=$\frac{v+{v}_{0}}{2}{t}_{0}$=0.75v₀t₀
在2t₀到3t₀粒子做匀速圆周运动，半径r₂=$\frac{{r}_{1}}{2}$=$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
故粒子偏离y轴的最大距离h=s+r₂=0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$
（3）每个4t₀内粒子在y轴负方向移动距离 d=2r₁+2r₂=$\frac{2{v}_{0}{t}_{0}}{π}$
经过A点时间 t=$\frac{\frac{24{v}_{0}{t}_{0}}{π}}{d}$×4t₀=32t₀
答：（1）$\frac{{t}_{0}}{2}$时带电粒子的位置坐标是（$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$，-$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{π}$）．
（2）粒子运动过程中偏离y轴的最大距离是0.75v₀t₀+$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{2π}$．
（3）粒子经32t₀时间经过A点．

点评 该题考查了带电粒子在方向随时间作周期性变化的磁场中运动的问题，此题不但要求学生要熟练的应用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径公式和周期公式，还要求要有较强的对物体运动的分析能力，该题关键是找出磁场变化的周期和粒子圆周运动的周期的关系．正确的绘制出粒子的轨迹图，对解决问题有非常大的帮助．