Question

12．如图所示，光滑水平轨道与竖直光滑半圆轨道平滑链接，C为半圆轨道的最低点，D为半圆轨道的最高点，半圆轨道半径为R．质量分别为2m和m两个小球a、b静止在水平轨道上，中间夹有一被压缩后锁定的轻质弹簧，因扰动弹簧突然解除锁定，小球b离开弹簧后经过C点沿半圆轨道运动，恰好能通过半圆轨道的最高点D（已知重力加速度为g）．求：
（1）小球b经过C点时速度的大小；
（2）弹簧锁定时具有的弹性势能．

Answer 1

分析 （1）小球b恰好运动到最高点D时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得小球b到达最高点时的速度．小球b从C到D的过程，只有重力做功，机械能守恒，由此求得小球b经过C点时速度的大小；
（2）弹簧解除锁定过程，弹簧将A、B弹出，系统的合外力为零，遵守动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合求弹簧锁定时具有的弹性势能．

解答 解：（1）球b在D点时，由重力提供向心力，有：mg=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$…①
小球b从C到D的过程中应用机械能守恒定律是：
  $\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$…②
联立①②得：v_C=$\sqrt{5gR}$…③
（3）弹簧解除锁定后，对两小球a、b、弹簧构成的系统，规定向右为正方向，分别应用动量守恒和能量守恒：
  0=-2mv_a+mv_C…④
  E_p=$\frac{1}{2}$•2mv_a²+$\frac{1}{2}$mv_C²…⑤
联立③④⑤得：E_p=$\frac{15}{4}$mgR…⑥
答：（1）小球b经过C点时速度的大小是$\sqrt{5gR}$；
（2）弹簧锁定时具有的弹性势能是$\frac{15}{4}$mgR．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体的运动过程，把握b球到达D点的临界条件：重力等于向心力是解题的关键，应用牛顿第二定律、机械能守恒定律与动量守恒定律可以解题．