Question

一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率P=6×10⁵ W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F_f是车重的0.01倍，g取10m/s²，求：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v=10m/s时，列车的瞬时加速度a是多少；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s²的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间和发动机在这段时间内做的功．

Answer 1

分析：（1）列车以额定功率工作时，行驶速度达到最大时牵引力与受到的阻力F_f大小相等，根据公式P=fv求得最大速度；
（2）当行驶速度为v=10m/s时，由公式P=Fv求出此时的牵引力，由牛顿第二定律求得加速度a；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，牵引力等于阻力，发动机的实际功率P′等于阻力与速率的乘积；
（4）当发动机的实际功率达到额定功率时，匀加速运动结束．根据牛顿第二定律求出匀加速运动的牵引力，由P=Fv求出匀加速运动的末速度，即可由v=at求解时间．根据动能定理求出发动机做功．

解答：解：（1）列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F=F_f=kmg时列车的加速度为零，速度达最大v_m，则：
   v_m=

P

F

=

P

Ff

=

P

kmg

=12 m/s．
（2）当v＜v_m时列车加速运动，当v=v₂=10 m/s时，F₂=

P

v2

=6×10⁴ N    
据牛顿第二定律得：a₂=

F2-Ff

m

=0.02 m/s²．
（3）当v=36 km/h=10 m/s时，车匀速运动，发动机的实际功率P=F_fv=5×10⁵ W．
（4）据牛顿第二定律得牵引力F′=F_f+ma=3×10⁵ N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大．
当功率为额定功率时速度大小为v_m′，即v_m′=

P

F′

=2 m/s
据v_m′=at，得：t=

vm′

a

=4 s．
根据动能定理：
   W-F_fx=

1

2

m(at)2
又x=

1

2

at2
得  W=Ff×

1

2

at2+

1

2

m(at)2=1.2×106J
答：
（1）火车在水平轨道上行驶的最大速度为12m/s；
（2）在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v=10m/s时，列车的瞬时加速度a是0.02 m/s²；
（3）在水平轨道上以36km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′为5×10⁵ W；
（4）若火车从静止开始，保持0.5m/s²的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间是4s和发动机在这段时间内做的功为1.2×10⁶J．

点评：本题是机车启动问题，要学会分析列车的运动过程，理解并记住当牵引力等于阻力时速度达到最大值，运用牛顿第二定律、运动学公式、动能定理和功率公式进行求解．